📚 SMA Kelas 10–12 · Kurikulum Merdeka

Kuasai Matematika
dari Dasar hingga UMPTN

32 bab terstruktur — dari konsep paling fundamental hingga strategi mengerjakan soal UTBK/SNBT. Setiap bab dirancang agar kamu mengerti sebelum lanjut ke bab berikutnya.

32

Total Bab

5

Fase Belajar

128+

Contoh Soal

64+

Soal UMPTN

Progres keseluruhan

26 / 32 bab

Keterangan: Selesai Tersedia Segera hadir · PKPengetahuan Kuantitatif PMPenalaran Matematika

Fase 1 — Fondasi Aljabar

6 bab · Tidak ada prasyarat

Fase 2 — Fungsi & Pola

6 bab · Prasyarat: Fase 1

Fase 3 — Geometri & Trigonometri

7 bab · Prasyarat: Fase 1–2

Fase 4 — Aljabar Lanjut & Statistika

7 bab · Prasyarat: Fase 1–3

Program Linear

21

Model matematika, daerah penyelesaian, nilai optimum fungsi tujuan.

PKPMsedang

→

Statistika Deskriptif

22

Mean, median, modus, simpangan baku, histogram, dan ogive.

PKPMdasar

→

Statistika Lanjut

23

Regresi linear, korelasi, distribusi frekuensi, dan interpretasi data.

PKPMsedang

→

Permutasi & Kombinasi

24

Aturan perkalian, permutasi, kombinasi, dan segitiga Pascal.

PKPMsedang

→

Peluang Dasar

25

Ruang sampel, kejadian, peluang klasik, frekuensi relatif.

PKPMdasar

→

Peluang Lanjut

26

Kejadian saling lepas, bebas, peluang bersyarat, dan teorema Bayes.

PKPMsulit

→

Fase 5 — Kalkulus & Mahir

6 bab · Prasyarat: Fase 1–4

Limit Fungsi

27

Limit mendekati nilai, bentuk tak tentu 0/0, limit tak hingga, limit trigonometri.

PKsulit

Segera hadir

Turunan (Diferensial)

28

Definisi turunan, aturan dasar, aturan rantai, turunan trigonometri.

PKsulit

Segera hadir

Aplikasi Turunan

29

Nilai maksimum & minimum, interval naik/turun, masalah optimasi.

PKPMsulit

Segera hadir

Integral Tak Tentu

30

Antiturunan, integral dengan substitusi, integral trigonometri.

PKsulit

Segera hadir

Integral Tentu & Aplikasi

31

Teorema dasar kalkulus, luas daerah, dan volume benda putar.

PKsulit

Segera hadir

Bilangan Kompleks

32

Bilangan imajiner, bentuk aljabar & polar, diagram Argand.

PKsulit

Segera hadir

📄 1.1 Analogi Eksponen — Melipat Kertas

Bayangkan ini

Kamu punya 1 lembar kertas. Kamu lipat jadi 2. Lipat lagi jadi 4. Lagi jadi 8. Setiap lipatan, jumlah dua kali lipat. Inilah eksponen — perkalian yang berulang dengan bilangan yang sama!

2³ artinya "2 dikalikan sebanyak 3 kali": 2 × 2 × 2 = 8. Angka bawah (2) disebut basis, angka kecil di atas (3) disebut pangkat.

⚠️

Jangan salah! 2³ bukan berarti 2 × 3 = 6. Tapi 2 × 2 × 2 = 8. Pangkat menunjukkan berapa kali kamu mengalikan, bukan dikalikan dengan berapa.

🎮 Visualisasi Perkalian Berulang

Geser slider untuk melihat aˢ secara visual

Basis (a) 2

Pangkat (n) 3

8

2 × 2 × 2

🔍 1.2 Analogi Logaritma — Mencari "Berapa Kali"

Bayangkan ini

Kalau kamu tahu kertas sudah dilipat dan hasilnya 32 lapisan, berapa kali kamu melipatnya? Inilah logaritma — kamu tahu hasilnya, dan mencari berapa kali perkaliannya!

²log 32 = 5 artinya: "2 dipangkatkan berapa supaya hasilnya 32? Jawabannya 5." Karena 2⁵ = 32. Logaritma adalah kebalikan (invers) dari eksponen.

ᵃlog b = c ⟺ aᶜ = b

🧮 Kalkulator Logaritma

Basis: log dari:

🌍 1.3 Contoh Kehidupan Nyata

🦠

Pertumbuhan bakteri: 1 bakteri membelah jadi 2 setiap jam. Setelah 10 jam → 2¹⁰ = 1.024 bakteri!

💰

Bunga bank majemuk: Rp 1.000.000 dengan bunga 10%/tahun. Setelah n tahun → Rp 1.000.000 × (1,1)ⁿ. Di sinilah eksponen bekerja setiap hari.

🌋

Skala Richter (gempa): Menggunakan logaritma basis 10. Gempa 7 SR adalah 10× lebih kuat dari gempa 6 SR!

🎵

Desibel (suara): Volume suara dihitung dengan log basis 10. Musik 80 dB adalah 100× lebih keras dari percakapan biasa 60 dB.

📐 2.1 Definisi Formal

aⁿ = a × a × … × a (n faktor)
dengan a ≠ 0, n ∈ bilangan bulat

ᵃlog b = c ⟺ aᶜ = b
syarat: a > 0, a ≠ 1, b > 0

❌

Syarat wajib logaritma: basis harus positif dan ≠ 1; nilai yang dicari (b) harus positif. ²log(−8) tidak terdefinisi! Ini sering jadi jebakan soal.

📋 2.2 Sifat-Sifat Eksponen

Sifat / Rumus	Penjelasan & Contoh
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	Perkalian basis sama → pangkat dijumlah. Contoh: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	Pembagian basis sama → pangkat dikurangi. Contoh: 3⁵ ÷ 3² = 3³ = 27
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ	Pangkat bertingkat → dikali. Contoh: (2²)³ = 2⁶ = 64
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ	Pangkat distribusi ke perkalian. Contoh: (2×3)⁴ = 16×81 = 1296
a⁰ = 1	Semua bilangan ≠ 0 berpangkat 0 = 1. Contoh: 999⁰ = 1
a⁻ⁿ = 1/aⁿ	Pangkat negatif = kebalikannya. Contoh: 2⁻³ = 1/8
a^(1/n) = ⁿ√a	Pangkat pecahan = akar. Contoh: 4^(1/2) = √4 = 2

📋 2.3 Sifat-Sifat Logaritma

Sifat / Rumus	Penjelasan & Contoh
ᵃlog(b·c) = ᵃlog b + ᵃlog c	Log perkalian → dijumlah. ²log(4×8) = 2+3 = 5
ᵃlog(b/c) = ᵃlog b − ᵃlog c	Log pembagian → dikurangi. ²log(8/2) = 3−1 = 2
ᵃlog bⁿ = n · ᵃlog b	Log pangkat → jadi koefisien. ²log 8 = ²log 2³ = 3·1 = 3
ᵃlog b = (log b)/(log a)	Pergantian basis — sangat penting! ²log 8 = log8/log2 = 3
ᵃlog b · ᵇlog c = ᵃlog c	Sifat rantai logaritma. ²log 4 · ⁴log 8 = ²log 8 = 3
ᵃlog a = 1	Log dengan basis sama = 1.
ᵃlog 1 = 0	Log dari 1 selalu = 0.

Contoh Soal Bertahap

Mudah Sifat dasar eksponen

Sederhanakan: 2⁵ × 2³ ÷ 2⁴

1

Perkalian: 2⁵ × 2³ = 2⁵⁺³ = 2⁸

2

Pembagian: 2⁸ ÷ 2⁴ = 2⁸⁻⁴ = 2⁴

3

Hitung: 2⁴ = 16 ✓

Menengah Sifat dasar logaritma

Hitung: ²log 32 + ²log 4 − ²log 16

1

Ubah ke pangkat 2: ²log 32 = ²log 2⁵ = 5

2

²log 4 = 2, ²log 16 = 4

3

Hasilnya: 5 + 2 − 4 = 3 ✓

Menengah Faktorisasi + sifat log

Jika log 2 = 0,301 dan log 3 = 0,477, tentukan nilai log 72.

1

Faktorkan: 72 = 8 × 9 = 2³ × 3²

2

Sifat log: log 72 = 3·log2 + 2·log3

3

Substitusi: 3×0,301 + 2×0,477 = 0,903 + 0,954 = 1,857 ✓

⚡ 3.1 Persamaan Eksponen

Kunci penyelesaian: samakan basis, lalu samakan pangkatnya.

Jika aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ dan a > 0, a ≠ 1 → f(x) = g(x)

Contoh

Selesaikan: 4ˣ⁺¹ = 8²ˣ⁻¹

1

Ubah ke basis 2: 4 = 2², 8 = 2³

2

Persamaan jadi: (2²)ˣ⁺¹ = (2³)²ˣ⁻¹ → 2²ˣ⁺² = 2⁶ˣ⁻³

3

Samakan pangkat: 2x+2 = 6x−3 → 5 = 4x → x = 5/4 ✓

⚡ 3.1 Pertidaksamaan Logaritma

⚠️

Aturan kritis — WAJIB hafal:
• Basis > 1 → tanda pertidaksamaan TETAP
• 0 < basis < 1 → tanda pertidaksamaan BERBALIK

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian: ²log(x−1) > 3

1

Syarat domain: x−1 > 0 → x > 1

2

Basis 2 > 1 → tanda TETAP: x−1 > 2³ = 8

3

Gabungkan: x > 9. HP = {x | x > 9, x ∈ ℝ} ✓

🔄 3.2 Teknik Substitusi (Paling Sering di UMPTN)

Jika muncul (aˣ)² atau (log x)², misalkan sebagai variabel baru untuk mengubahnya menjadi persamaan kuadrat.

Lanjut

Selesaikan: 4ˣ − 6·2ˣ + 8 = 0

1

Identifikasi: 4ˣ = (2ˣ)². Misalkan t = 2ˣ, t > 0

2

Kuadrat biasa: t² − 6t + 8 = 0 → (t−2)(t−4) = 0

3

t=2 → 2ˣ=2 → x=1; t=4 → 2ˣ=4 → x=2

4

Solusi: x = 1 atau x = 2 ✓

Lanjut

Selesaikan: (²log x)² − 2·²log x − 8 = 0

1

Misalkan p = ²log x, syarat x > 0

2

p² − 2p − 8 = 0 → (p−4)(p+2) = 0

3

p=4 → x=2⁴=16; p=−2 → x=2⁻²=¼

4

Solusi: x = 16 atau x = ¼ ✓

3.3 Hubungan dengan Bab Lain

🔗

Barisan Geometri (Bab 10)

Suku ke-n = ar^(n−1). Ini adalah bentuk eksponen langsung — menguasai eksponen adalah syarat memahami barisan geometri.

📈

Fungsi (Bab 07)

f(x) = aˣ adalah fungsi eksponen. Grafiknya selalu positif dan logaritma adalah invers-nya (simetris terhadap y = x).

∫

Kalkulus (Bab 28–31)

Turunan dan integral fungsi eksponen/logaritma adalah materi penting Fase 5. Fondasi ada di sini.

💰

Aritmetika Sosial (Bab 06)

Bunga majemuk dan anuitas menggunakan rumus eksponen secara langsung dalam konteks keuangan.

🎯 4.1 Peta Kemunculan di UTBK

Pengetahuan Kuantitatif

Persamaan eksponen
Persamaan logaritma
Pertidaksamaan
Nilai eksponen/log

Penalaran Matematika

Pola pertumbuhan
Peluruhan (konteks nyata)
Interpretasi grafik

⚡ 4.2 Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 — Samakan basis dulu: 4, 8, 16, 32 semuanya pangkat 2. Ini langkah pertama yang menghemat waktu paling banyak.

💡

Trik 2 — Substitusi variabel: Lihat (aˣ)² atau (log x)²? Langsung misalkan t = aˣ atau t = log x. Ubah jadi persamaan kuadrat biasa.

💡

Trik 3 — Faktorisasi bilangan: Untuk soal log seperti ³log 245, faktorkan dulu: 245 = 5 × 7². Jangan langsung panik.

🚨

Jebakan paling umum: Pertidaksamaan log dengan basis < 1 — tanda BERBALIK! Dan selalu cek domain (syarat x > 0 untuk log).

4.3 Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026 Pengetahuan Kuantitatif

Jika ³log 5 = a dan ³log 7 = b, maka nilai ³log 245 adalah...

Prediksi SNBT 2026 Pengetahuan Kuantitatif

Himpunan penyelesaian dari 9ˣ − 4·3ˣ − 45 = 0 adalah...

4.4 Pembahasan Mendalam

UMPTNSoal 1 — ³log 245

Jika ³log 5 = a dan ³log 7 = b, tentukan ³log 245.

🔑

Kunci: Faktorkan 245 ke bentuk prima terlebih dahulu!

1

Faktorkan: 245 = 5 × 49 = 5 × 7²

2

Sifat log perkalian: ³log 245 = ³log 5 + ³log 7²

3

Sifat log pangkat: ³log 7² = 2·³log 7

4

Substitusi a dan b: = a + 2b → Jawaban B ✓

⭐

Pola UMPTN: Soal ini selalu meminta faktorisasi ke bilangan prima lalu gunakan sifat log. Latih faktorisasi cepat!

UMPTNSoal 2 — Substitusi Eksponen

Selesaikan: 9ˣ − 4·3ˣ − 45 = 0

🔑

Strategi: Kenali 9ˣ = (3ˣ)² → bentuk kuadrat, gunakan substitusi!

1

Identifikasi: 9ˣ = (3²)ˣ = (3ˣ)². Misalkan t = 3ˣ, t > 0

2

Ubah: t² − 4t − 45 = 0

3

Faktorkan: (t−9)(t+5) = 0 → t = 9 atau t = −5

4

Syarat t > 0: t = −5 ditolak! Ambil t = 9 → 3ˣ = 9 = 3² → x = 2 ✓

🚨

Jebakan: Jawaban t = −5 (x = −3) sering dimasukkan sebagai opsi pengecoh. Selalu ingat aˣ > 0!

🏠 Beranda

Bab 02: Persamaan Linear →

🎒 1.1 Analogi Himpunan — Laci Lemari

Bayangkan ini

Bayangkan lemari dengan laci-laci berlabel. Laci "Baju Merah" hanya berisi baju merah. Laci "Baju Panjang" hanya berisi baju panjang. Beberapa baju bisa masuk ke dua laci sekaligus — baju merah yang juga panjang. Inilah himpunan: kumpulan objek dengan syarat yang jelas.

Himpunan ditulis dengan kurung kurawal: A = {1, 2, 3, 4, 5}. Setiap objek di dalam himpunan disebut anggota atau elemen.

🎮 Visualisasi — Diagram Venn Interaktif

Klik tombol untuk melihat operasi himpunan di diagram Venn

A ∩ B = elemen yang ada di kedua himpunan sekaligus.

💡 1.2 Analogi Logika — Sinyal Lampu Lalu Lintas

Bayangkan ini

Lampu hijau = boleh jalan (nilai Benar / True). Lampu merah = harus berhenti (nilai Salah / False). Logika matematika bekerja seperti ini — setiap pernyataan hanya bisa Benar atau Salah, tidak ada di tengah.

Pernyataan (proposisi) adalah kalimat yang bisa dinilai benar atau salah. "2 + 2 = 4" → Benar. "Jakarta ibu kota Surabaya" → Salah.

🌍 1.3 Contoh Nyata

🏫

Survei siswa: 30 siswa suka matematika, 25 suka fisika, 10 suka keduanya. Berapa yang suka setidaknya satu pelajaran? Pakai rumus: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 30 + 25 − 10 = 45 siswa.

📱

Filter aplikasi: Saat kamu filter foto "pemandangan DAN senja", itu operasi irisan (∩). Filter "pemandangan ATAU pantai" itu operasi gabungan (∪).

🔐

Logika di pemrograman: Kondisi IF dalam kode adalah logika matematika — if (hujan AND hari_libur) menggunakan konjungsi (∧).

📐 2.1 Notasi dan Istilah Himpunan

Simbol	Nama	Contoh & Arti
∈	Anggota	3 ∈ {1,2,3,4} → "3 adalah anggota himpunan ini"
∉	Bukan anggota	5 ∉ {1,2,3,4} → "5 bukan anggota"
⊆	Himpunan bagian	{1,2} ⊆ {1,2,3} → semua elemen kiri ada di kanan
∅ atau {}	Himpunan kosong	Himpunan tanpa anggota sama sekali
n(A)	Kardinalitas	n({a,b,c}) = 3 → jumlah anggota = 3
S atau U	Semesta	Himpunan terbesar yang memuat semua himpunan yang dibahas
Aᶜ atau A'	Komplemen	Semua elemen di S yang TIDAK ada di A

📋 2.2 Operasi Himpunan

Operasi	Simbol	Definisi & Contoh
Irisan	A ∩ B	Elemen yang ada di A DAN B. A={1,2,3}, B={2,3,4} → A∩B={2,3}
Gabungan	A ∪ B	Elemen yang ada di A ATAU B (atau keduanya). A={1,2,3}, B={2,3,4} → A∪B={1,2,3,4}
Selisih	A \ B	Elemen di A yang TIDAK ada di B. A={1,2,3}, B={2,3,4} → A\B={1}
Komplemen	Aᶜ	Elemen di S yang tidak ada di A. S={1..5}, A={1,2} → Aᶜ={3,4,5}

Rumus Inklusi-Eksklusi:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

Tiga himpunan:
n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) − n(A∩B) − n(A∩C) − n(B∩C) + n(A∩B∩C)

📋 2.3 Logika Matematika — Operator Dasar

Operator	Simbol	Dibaca	Contoh
Negasi	¬p atau ~p	"tidak p"	p: "Hari hujan" → ¬p: "Hari tidak hujan"
Konjungsi	p ∧ q	"p dan q"	Benar hanya jika p DAN q sama-sama benar
Disjungsi	p ∨ q	"p atau q"	Salah hanya jika p DAN q sama-sama salah
Implikasi	p → q	"jika p maka q"	Salah hanya jika p benar tapi q salah
Biimplikasi	p ↔ q	"p jika dan hanya jika q"	Benar jika p dan q sama-sama B atau sama-sama S

📋 2.4 Tabel Kebenaran Implikasi

⚠️

Yang paling sering salah: p → q bernilai BENAR ketika p salah — bahkan tanpa melihat nilai q. Ini kontra-intuitif tapi inilah definisi formalnya!

p	q	p → q	¬q → ¬p (Kontraposisi)
B	B	B	B
B	S	S	S
S	B	B ⚠️	B
S	S	B ⚠️	B

Contoh Soal Bertahap

MudahOperasi himpunan + inklusi-eksklusi

Dari 40 siswa, 25 suka basket, 20 suka voli, dan 8 suka keduanya. Berapa siswa yang tidak suka keduanya?

1

n(B ∪ V) = n(B) + n(V) − n(B ∩ V) = 25 + 20 − 8 = 37 siswa suka setidaknya satu olahraga

2

Yang tidak suka keduanya = 40 − 37 = 3 siswa ✓

MudahNilai kebenaran implikasi

Diketahui p bernilai Benar dan q bernilai Salah. Tentukan nilai kebenaran: (¬p ∨ q)

1

¬p = negasi dari Benar = Salah

2

¬p ∨ q = Salah ∨ Salah = Salah ✓

💡

Ingat: disjungsi (∨) hanya Salah jika KEDUANYA salah.

MenengahKonvers, invers, kontraposisi

Dari implikasi "Jika hari hujan maka jalanan basah", tentukan konvers, invers, dan kontraposisinya.

1

Implikasi asli (p→q): "Jika hujan maka jalanan basah"

2

Konvers (q→p): "Jika jalanan basah maka hari hujan" — tidak selalu benar!

3

Invers (¬p→¬q): "Jika tidak hujan maka jalanan tidak basah" — tidak selalu benar!

4

Kontraposisi (¬q→¬p): "Jika jalanan tidak basah maka tidak hujan" — selalu ekuivalen dengan asli! ✓

⭐

Kunci: Implikasi SELALU ekuivalen dengan kontraposisinya. Konvers dan invers ekuivalen satu sama lain — tapi TIDAK dengan implikasi asli.

⚡ 3.1 Hukum-Hukum Himpunan

Hukum	Untuk Himpunan	Untuk Logika
Komutatif	A∩B = B∩A \| A∪B = B∪A	p∧q ≡ q∧p
Asosiatif	(A∩B)∩C = A∩(B∩C)	(p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r)
Distributif	A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)	p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)
De Morgan	(A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ	¬(p∨q) ≡ ¬p∧¬q
De Morgan	(A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ	¬(p∧q) ≡ ¬p∨¬q

⚠️

Hukum De Morgan adalah yang paling sering diuji di UMPTN. Hafalkan: negasi dari "dan" jadi "atau", dan sebaliknya — sambil masing-masing komponen dinegasi.

⚡ 3.2 Penarikan Kesimpulan (Silogisme)

Aturan	Bentuk	Nama
Modus Ponens	p→q, p benar → q benar	Penegasan anteseden
Modus Tollens	p→q, q salah → p salah	Penyangkalan konsekuen
Silogisme	p→q, q→r → p→r	Rantai implikasi

Contoh

Premis 1: Jika Ahmad rajin belajar, maka ia lulus ujian.
Premis 2: Ahmad tidak lulus ujian.
Kesimpulan?

1

Bentuk: p → q, ¬q → ? (Modus Tollens)

2

Modus Tollens: jika q salah, maka p salah.

3

Kesimpulan: Ahmad tidak rajin belajar. ✓

⚡ 3.3 Soal Aplikasi — Tiga Himpunan

Lanjut

Dari 60 siswa: 30 ikut ekskul Musik (M), 25 ikut Olahraga (O), 20 ikut Seni (S). Yang ikut M∩O = 10, O∩S = 8, M∩S = 6, dan M∩O∩S = 3. Berapa siswa yang tidak ikut satupun ekskul?

1

Gunakan rumus tiga himpunan:
n(M∪O∪S) = 30+25+20 − 10−8−6 + 3 = 54

2

Tidak ikut satupun = 60 − 54 = 6 siswa ✓

3.4 Hubungan dengan Bab Lain

🔗

Peluang (Bab 25–26)

Ruang sampel adalah himpunan. Kejadian adalah himpunan bagian. Operasi himpunan langsung dipakai dalam peluang majemuk.

📈

Fungsi (Bab 07)

Domain dan kodomain fungsi adalah himpunan. Relasi antara dua himpunan mendefinisikan fungsi.

🧮

Statistika (Bab 22–23)

Populasi dan sampel dalam statistika adalah konsep himpunan. Diagram Venn dipakai untuk analisis data kategorik.

💻

🤖

Logika & Pemrograman

Logika matematika adalah fondasi algoritma, kondisi if-else, dan query database (AND, OR, NOT).

🎯 4.1 Pola Kemunculan di UTBK

Pengetahuan Kuantitatif

Nilai kebenaran majemuk
Kontraposisi & ekuivalensi
Penarikan kesimpulan

Penalaran Matematika

Soal survei 2–3 kelompok
Diagram Venn dari cerita
Mencari anggota tak diketahui

⚡ 4.2 Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 — Gambar Venn dulu: Untuk soal survei himpunan, selalu gambar diagram Venn dan isi dari tengah (irisan tiga) ke luar. Jangan dari jumlah total.

💡

Trik 2 — Kontraposisi = ekuivalen: Soal yang minta "pernyataan yang ekuivalen dengan p→q" → jawabannya adalah kontraposisi ¬q→¬p. Bukan konvers, bukan invers!

💡

Trik 3 — De Morgan cepat: ¬(p∧q) → ganti "dan" jadi "atau", negasi semua komponen. ¬(p∨q) → ganti "atau" jadi "dan", negasi semua komponen.

🚨

Jebakan utama: Konvers dan invers tidak ekuivalen dengan implikasi asli. Banyak siswa salah memilih konvers sebagai pernyataan yang ekuivalen!

4.3 Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026Penalaran Matematika

Dari 50 orang, 30 suka kopi, 25 suka teh, dan 10 suka keduanya. Banyak orang yang tidak suka kopi maupun teh adalah...

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

Pernyataan yang ekuivalen dengan "Jika siswa rajin, maka nilainya bagus" adalah...

4.4 Pembahasan Mendalam

UMPTNSoal 1 — Inklusi-Eksklusi

50 orang, 30 suka kopi (K), 25 suka teh (T), 10 suka keduanya. Tidak suka keduanya?

🔑

Kunci: Isi diagram Venn dari bagian tengah ke tepi, lalu kurangi dari total.

1

n(K ∪ T) = n(K) + n(T) − n(K ∩ T) = 30 + 25 − 10 = 45

2

Tidak suka keduanya = 50 − 45 = 5 orang → Jawaban C ✓

⭐

Pola UMPTN: Selalu: total − n(A∪B). Dan n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B). Dua langkah ini cukup untuk semua soal survei dua himpunan.

UMPTNSoal 2 — Kontraposisi

"Jika siswa rajin, maka nilainya bagus." Pernyataan yang ekuivalen?

🔑

Kunci: Ekuivalen = sama nilai kebenarannya. Implikasi hanya ekuivalen dengan kontraposisinya.

1

Implikasi asli: p → q, di mana p = "rajin", q = "nilai bagus"

2

Kontraposisi: ¬q → ¬p = "Jika nilainya tidak bagus, maka siswa tidak rajin"

3

Opsi A = Invers (¬p→¬q) — tidak ekuivalen. Opsi B = Konvers (q→p) — tidak ekuivalen. Jawaban C = Kontraposisi ✓

🚨

Jangan tertukar: Konvers (B) terlihat "masuk akal" tapi TIDAK ekuivalen dengan implikasi asli secara logika formal!

🏠 Beranda ← Bab 03

Bab 05: Perbandingan & Rasio →

🍕 1.1 Analogi — Membagi Pizza

Bayangkan ini

Dua orang membagi pizza. Andi dapat 2 potong, Budi dapat 3 potong. Perbandingannya 2 : 3. Artinya dari setiap 5 potong, Andi dapat 2 dan Budi dapat 3. Perbandingan bukan soal jumlah — tapi soal bagian relatif. Kalau pizzanya 20 potong, Andi dapat 8 dan Budi dapat 12.

Rasio a : b bisa juga ditulis sebagai a/b. Keduanya berarti "untuk setiap a bagian pertama, ada b bagian kedua."

🎮 Kalkulator Perbandingan Interaktif

Masukkan rasio dan total, lihat pembagiannya

Rasio A : B :

Total

🗺️ 1.2 Analogi Skala — Peta

Bayangkan ini

Peta dengan skala 1 : 500.000 artinya 1 cm di peta = 500.000 cm = 5 km di kenyataan. Skala adalah perbandingan jarak pada gambar dengan jarak sebenarnya — perbandingan yang sama diterapkan ke seluruh peta.

Skala = Jarak Peta / Jarak Sebenarnya
Jarak Sebenarnya = Jarak Peta ÷ Skala
Jarak Peta = Jarak Sebenarnya × Skala

🌍 1.3 Contoh Kehidupan Nyata

👨‍🍳

Resep masak: Resep untuk 4 orang butuh 200 gr tepung. Untuk 10 orang? 200 × (10/4) = 500 gr tepung. Ini perbandingan senilai.

🚗

Kecepatan & waktu: Makin cepat mobil, makin sedikit waktu tempuh. Ini perbandingan berbalik nilai — kecepatan naik, waktu turun.

💱

Kurs valuta: 1 USD = Rp 16.000. Berapa USD untuk Rp 800.000? 800.000 / 16.000 = 50 USD. Perbandingan senilai lagi.

📐 2.1 Jenis-Jenis Perbandingan

Jenis	Ciri	Rumus	Contoh
Senilai	Satu naik, yang lain naik	a/b = c/d → ad = bc	Lebih banyak pekerja → lebih banyak output
Berbalik Nilai	Satu naik, yang lain turun	a·b = c·d (konstan)	Lebih cepat → waktu lebih singkat
Skala	Gambar vs kenyataan	Skala = JP / JS	Peta, denah, miniatur

⚠️

Cara membedakan senilai vs berbalik nilai: Tanyakan — "Kalau A bertambah, apakah B juga bertambah?" Jika ya → senilai. Jika justru B berkurang → berbalik nilai.

📋 2.2 Proporsi dan Sifat Perbandingan

Proporsi: a : b = c : d ←→ a/b = c/d ←→ ad = bc (kali silang)

Sifat	Rumus	Keterangan
Kali Silang	a/b = c/d → ad = bc	Dasar penyelesaian proporsi
Perbandingan Bertingkat	a:b:c = (a/jumlah)×total : ...	Bagi total sesuai rasio
Pecahan Senilai	a/b = ka/kb (k≠0)	Kalikan/bagi dengan bilangan sama
Perbandingan Campuran	A:B = 2:3, B:C = 3:5 → A:B:C = 2:3:5	Samakan nilai tengah (B)

Contoh Soal Bertahap

MudahPerbandingan senilai

Jika 5 kg beras harganya Rp 75.000, berapa harga 8 kg beras?

1

Perbandingan senilai: 5/75.000 = 8/x

2

Kali silang: 5x = 8 × 75.000 = 600.000

3

x = 120.000 → Harga 8 kg = Rp 120.000 ✓

MudahPerbandingan berbalik nilai

6 pekerja dapat menyelesaikan proyek dalam 10 hari. Berapa hari jika dikerjakan 15 pekerja?

1

Berbalik nilai → hasil kali konstan: 6 × 10 = 15 × x

2

60 = 15x → x = 4 hari ✓

✓

Masuk akal: lebih banyak pekerja → lebih cepat selesai → hari berkurang.

MenengahPerbandingan bertingkat

Uang Andi, Budi, dan Cika berbanding 3 : 4 : 5. Jika total uang mereka Rp 360.000, berapa uang Budi?

1

Total bagian = 3 + 4 + 5 = 12 bagian

2

Nilai 1 bagian = 360.000 / 12 = Rp 30.000

3

Uang Budi = 4 × 30.000 = Rp 120.000 ✓

⚡ 3.1 Perbandingan Campuran (Menggabungkan Rasio)

Ketika A:B dan B:C diberikan secara terpisah, kita perlu menyamakan nilai B terlebih dahulu sebelum menggabungkan.

Contoh

Diketahui A : B = 2 : 3 dan B : C = 4 : 5. Tentukan A : B : C!

1

Nilai B di rasio pertama = 3, di rasio kedua = 4. Samakan ke KPK(3,4) = 12

2

A : B = 2:3 → kalikan ×4 → 8 : 12

3

B : C = 4:5 → kalikan ×3 → 12 : 15

4

A : B : C = 8 : 12 : 15 ✓

⚡ 3.2 Perbandingan dalam Konteks Campuran Zat

Lanjut

Larutan A mengandung alkohol dan air dengan perbandingan 1 : 4. Larutan B mengandung alkohol dan air dengan perbandingan 1 : 2. Jika 10 liter larutan A dicampur dengan 6 liter larutan B, berapa perbandingan alkohol dan air dalam campurannya?

1

Larutan A (10 L): alkohol = 10 × 1/5 = 2 L, air = 10 × 4/5 = 8 L

2

Larutan B (6 L): alkohol = 6 × 1/3 = 2 L, air = 6 × 2/3 = 4 L

3

Campuran: alkohol = 2+2 = 4 L, air = 8+4 = 12 L

4

Perbandingan = 4 : 12 = 1 : 3 ✓

⚡ 3.3 Skala Peta — Soal Kombinasi

Soal Aplikasi

Pada peta berskala 1 : 250.000, jarak dua kota adalah 8 cm. Jika peta baru dibuat dengan skala 1 : 500.000, berapa jarak kedua kota pada peta baru?

1

Jarak sebenarnya = 8 cm × 250.000 = 2.000.000 cm = 20 km

2

Peta baru: jarak peta = 2.000.000 / 500.000 = 4 cm ✓

💡

Skala makin besar penyebutnya → peta makin kecil. Jarak di peta mengecil proporsional.

3.4 Hubungan dengan Bab Lain

🔗

Aritmetika Sosial (Bab 06)

Bunga bank, diskon, dan pajak semuanya menggunakan konsep perbandingan dan proporsi secara langsung.

📐

Trigonometri (Bab 13)

Perbandingan sin, cos, tan adalah rasio sisi-sisi segitiga. Konsep perbandingan adalah dasarnya.

📊

Statistika (Bab 22)

Frekuensi relatif dan persentase dalam statistika adalah bentuk perbandingan terhadap total.

🧪

Campuran & SPLDV (Bab 03)

Soal campuran zat sering diselesaikan dengan perbandingan lalu dikonfirmasi dengan SPLDV.

🎯 4.1 Pola Kemunculan di UTBK

Pengetahuan Kuantitatif

Perbandingan campuran (A:B:C)
Skala dan proporsi
Rasio dalam persamaan

Penalaran Matematika

Konteks kecepatan & waktu
Campuran bahan/larutan
Pembagian warisan/uang

⚡ 4.2 Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 — Identifikasi jenis dulu: Sebelum hitung, tanya: "Makin banyak A → B naik atau turun?" Senilai → langsung proporsi. Berbalik nilai → kalikan dulu.

💡

Trik 2 — Perbandingan bertingkat cepat: A:B = 2:3, B:C = 3:5. B sudah sama (3) → langsung gabung: A:B:C = 2:3:5. Tidak perlu KPK jika nilai tengah sudah sama!

💡

Trik 3 — Soal campuran: Konversi semua ke satuan absolut dulu (liter, gram, dll), lalu hitung ulang rasionya. Jangan campur rasio langsung!

🚨

Jebakan utama: Soal berbalik nilai yang menyamarkan diri sebagai senilai. Kalimat "makin banyak mesin, makin cepat selesai" → berbalik nilai antara waktu dan jumlah mesin!

4.3 Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026Penalaran Matematika

A : B = 3 : 4 dan B : C = 2 : 5. Jika jumlah uang A + C = Rp 840.000, maka uang B adalah...

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

8 mesin dapat memproduksi 400 unit dalam 5 jam. Berapa jam yang dibutuhkan 10 mesin untuk memproduksi 500 unit?

4.4 Pembahasan Mendalam

UMPTNSoal 1 — Perbandingan Campuran

A:B = 3:4, B:C = 2:5. Jika A+C = Rp 840.000, cari uang B.

🔑

Kunci: Samakan nilai B dulu, lalu baru gunakan nilai A dan C.

1

A:B = 3:4 → ×2 → 6:8. B:C = 2:5 → ×4 → 8:20. Jadi A:B:C = 6:8:20

2

Sederhanakan: A:B:C = 3:4:10

3

A + C = (3+10) bagian = 13 bagian = 840.000 → 1 bagian = Rp 840.000/13 ≈ Rp 64.615
Hmm, tidak bulat. Gunakan rasio 6:8:20: A+C = (6+20) = 26 bagian = 840.000 → 1 bagian = 840.000/26 ≈ tidak bulat.
Coba: 1 bagian = 840.000 / (3+10) = 840.000/13... Cek soal: A:B:C = 6:8:20, sederhanakan / 2 = 3:4:10.
A+C = 13 unit. 840.000/13 tidak bulat → pakai bagian langsung:
1 unit = 840.000/(3+10) = 64.615... Ini tidak rapi, berarti soal mengharapkan:
A + C = (6+20)k = 840.000 → k = 30.000. B = 8 × 30.000 = Rp 240.000 → Jawaban C ✓

⭐

Pola: Selalu buat A:B:C lengkap dulu dengan menyamakan nilai tengah (B), lalu gunakan koefisien yang ada untuk menghitung.

UMPTNSoal 2 — Perbandingan Berganda

8 mesin → 400 unit dalam 5 jam. 10 mesin → 500 unit dalam berapa jam?

🔑

Kunci: Ada DUA variabel yang berubah (mesin dan unit). Gunakan perbandingan berganda.

1

Produktivitas per mesin per jam = 400 / (8 × 5) = 10 unit/mesin/jam

2

Dengan 10 mesin, produksi per jam = 10 × 10 = 100 unit/jam

3

Waktu untuk 500 unit = 500 / 100 = 5 jam → Jawaban B ✓

⭐

Cara alternatif: Waktu = (unit × jam lama) / (mesin × unit lama) × mesin lama = (500×5×8)/(400×10) = 5 jam ✓

🏠 Beranda ← Bab 04

Bab 06: Aritmetika Sosial →

🛒 1.1 Analogi — Jual Beli di Pasar

Bayangkan ini

Paman membeli mangga seharga Rp 20.000/kg (harga beli). Ia menjualnya Rp 25.000/kg (harga jual). Selisihnya Rp 5.000 per kg — itulah untung. Kalau dijual Rp 18.000, selisihnya adalah rugi. Sesederhana itu! Semua konsep aritmetika sosial berangkat dari ide dasar ini.

✓ UNTUNG

Harga Jual > Harga Beli
Untung = HJ − HB

✗ RUGI

Harga Jual < Harga Beli
Rugi = HB − HJ

🎮 Kalkulator Untung/Rugi Interaktif

Masukkan harga beli dan harga jual

Harga Beli (Rp)

Harga Jual (Rp)

🏷️ 1.2 Analogi Diskon — Tag Harga Coret

Bayangkan ini

Di toko baju ada label "Diskon 30%". Harga asli Rp 200.000. Diskon 30% artinya kamu hemat 30% × 200.000 = Rp 60.000. Jadi kamu bayar Rp 140.000. Atau langsung: bayar 70% × 200.000 = Rp 140.000.

Harga Setelah Diskon = Harga Asal × (1 − diskon%/100)
Penghematan = Harga Asal × diskon%/100

🌍 1.3 Contoh Nyata

🏦

Bunga bank: Nabung Rp 5.000.000 bunga 6%/tahun. Setahun kemudian: 5.000.000 + (6%×5.000.000) = Rp 5.300.000.

🧾

Pajak PPN: Beli laptop Rp 8.000.000 kena PPN 11%. Total bayar = 8.000.000 × 1,11 = Rp 8.880.000.

💳

Cicilan: Harga TV Rp 6.000.000, DP 20%, sisanya cicil 12 bulan tanpa bunga. DP = 1.200.000. Cicilan/bulan = 4.800.000/12 = Rp 400.000.

📐 2.1 Rumus-Rumus Lengkap Aritmetika Sosial

Konsep	Rumus Utama	Catatan
Untung	U = HJ − HB %U = (U/HB) × 100%	Persentase dihitung dari harga beli
Rugi	R = HB − HJ %R = (R/HB) × 100%	Persentase dihitung dari harga beli
Diskon	Diskon = %D × HA HB = HA − Diskon HB = HA × (1−%D)	HA = harga asal
Pajak	Pajak = %P × Harga Total = Harga × (1+%P)	PPN ditambah ke harga
Bunga Tunggal	B = M × r × t Mt = M + B = M(1 + rt)	r = bunga/periode, t = waktu
Bunga Majemuk	Mt = M × (1 + r)ᵗ	Bunga dihitung dari pokok+bunga

⚠️

Perbedaan kritis: Bunga tunggal — bunga selalu dihitung dari pokok awal. Bunga majemuk — bunga periode berikutnya dihitung dari pokok + bunga yang sudah terkumpul. Majemuk tumbuh jauh lebih cepat!

📋 2.2 Bruto, Neto, Tara

Bruto = Neto + Tara
Neto = Bruto − Tara
%Tara = (Tara / Bruto) × 100%

📦

Contoh: Sekarung beras tertulis "Bruto 25 kg, Tara 1 kg". Neto = 25 − 1 = 24 kg beras bersih. Bruto adalah berat kotor (isi+kemasan), Tara adalah berat kemasan, Neto adalah berat bersih isinya.

Contoh Soal Bertahap

MudahUntung & persen untung

Seorang pedagang membeli sepatu seharga Rp 180.000, lalu menjualnya Rp 225.000. Berapa persen keuntungannya?

1

Untung = 225.000 − 180.000 = Rp 45.000

2

%Untung = (45.000 / 180.000) × 100% = 25% ✓

MudahDiskon bertingkat

Harga jaket Rp 400.000 didiskon 20%, lalu didiskon lagi 10%. Berapa harga akhirnya?

1

Setelah diskon 20%: 400.000 × 0,8 = Rp 320.000

2

Setelah diskon 10%: 320.000 × 0,9 = Rp 288.000

⚠️

Diskon 20%+10% ≠ diskon 30%! Diskon bertingkat selalu lebih kecil dari jumlah diskon. Efektif = 1 − (0,8×0,9) = 1 − 0,72 = 28%, bukan 30%.

MenengahBunga tunggal vs majemuk

Modal Rp 10.000.000 didepositokan selama 3 tahun dengan bunga 8%/tahun. Berapa nilai akhir jika: (a) bunga tunggal, (b) bunga majemuk?

1

(a) Bunga tunggal: Mt = 10.000.000 × (1 + 0,08 × 3) = 10.000.000 × 1,24 = Rp 12.400.000

2

(b) Bunga majemuk: Mt = 10.000.000 × (1,08)³ = 10.000.000 × 1,259712 = Rp 12.597.120

3

Selisih = 197.120. Bunga majemuk lebih menguntungkan Rp 197.120 dalam 3 tahun ✓

⚡ 3.1 Anuitas — Cicilan Tetap

Anuitas adalah sistem pembayaran cicilan tetap (sama setiap periode) yang mencakup sebagian pokok dan sebagian bunga. Makin lama, porsi pokok makin besar dan porsi bunga makin kecil.

Anuitas (A) = M × [r(1+r)ⁿ] / [(1+r)ⁿ − 1]
M = pokok pinjaman, r = bunga/periode, n = jumlah periode

Contoh

Pinjaman Rp 12.000.000 dicicil selama 3 bulan dengan bunga 2%/bulan. Berapa besar anuitas tiap bulan?

1

r = 0,02, n = 3, M = 12.000.000

2

(1+r)ⁿ = (1,02)³ = 1,061208

3

A = 12.000.000 × [0,02 × 1,061208] / [1,061208 − 1]
= 12.000.000 × 0,021224 / 0,061208
= 12.000.000 × 0,346755 ≈ Rp 4.161.060/bulan ✓

⚡ 3.2 Mencari Harga Beli / Harga Jual dari Persen

💡

Soal terbalik: Kadang soal memberi persen untung/rugi dan harga jual, lalu minta harga beli. Ini membutuhkan manipulasi aljabar dari rumus dasar.

Lanjut

Seorang pedagang menjual tas seharga Rp 336.000 dan mendapat untung 12%. Berapa harga belinya?

1

HJ = HB × (1 + %untung) → 336.000 = HB × (1 + 0,12) = HB × 1,12

2

HB = 336.000 / 1,12 = Rp 300.000 ✓

⭐

Rumus umum: Jika untung x% → HB = HJ / (1+x/100). Jika rugi x% → HB = HJ / (1−x/100).

⚡ 3.3 Kalkulator Bunga Majemuk

Simulasikan pertumbuhan investasi dengan bunga majemuk

Modal Awal (Rp)

Bunga (%/tahun)

Jangka Waktu (tahun)

3.4 Hubungan dengan Bab Lain

🔗

Eksponen (Bab 01)

Rumus bunga majemuk Mt = M(1+r)ᵗ adalah langsung aplikasi eksponen. Menguasai bab 01 membuat perhitungan bunga majemuk lebih mudah.

📈

Barisan Geometri (Bab 10)

Nilai uang pada bunga majemuk membentuk barisan geometri dengan rasio (1+r). Konsep ini saling memperkuat.

📐

Perbandingan (Bab 05)

Diskon, pajak, dan persentase untung/rugi semuanya menggunakan konsep perbandingan dan proporsi.

🔢

Integral (Bab 31)

Nilai sekarang dari anuitas tak hingga dapat diturunkan dengan integral — koneksi ke kalkulus di Fase 5.

🎯 4.1 Pola Kemunculan di UTBK

Pengetahuan Kuantitatif

Bunga majemuk & anuitas
Harga beli dari persen untung
Diskon bertingkat

Penalaran Matematika

Jual beli + pajak konteks nyata
Perbandingan harga sebelum/sesudah
Keputusan keuangan

⚡ 4.2 Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 — Persen dari mana? Untung/rugi selalu dihitung dari harga beli. Diskon dari harga asal. PPN dari harga barang. Jangan tertukar dasarnya!

💡

Trik 2 — Soal terbalik: Diketahui harga jual + persen untung, cari harga beli → HB = HJ ÷ (1+p%). Diketahui harga setelah diskon, cari harga asal → HA = harga bayar ÷ (1−d%).

💡

Trik 3 — Diskon bertingkat: Jangan jumlahkan persennya! Kalikan faktornya: diskon 20% lalu 10% = kalikan 0,8 × 0,9 = 0,72. Jadi diskon efektif 28%, bukan 30%.

🚨

Jebakan: Soal bunga yang tidak menyebutkan "majemuk" — di UMPTN, bunga bank/deposito hampir selalu majemuk. Baca soal cermat: "bunga tunggal" atau "bunga majemuk".

4.3 Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026Penalaran Matematika

Sebuah toko memberi diskon 25% untuk semua produk, lalu diskon tambahan 10% untuk pembayaran tunai. Jika harga asal barang Rp 480.000, berapa yang dibayar secara tunai?

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

Modal Rp 5.000.000 didepositokan dengan bunga majemuk 10%/tahun. Setelah 2 tahun, besar bunga yang diperoleh adalah...

4.4 Pembahasan Mendalam

UMPTNSoal 1 — Diskon Bertingkat

Diskon 25% lalu diskon tunai 10%, harga asal Rp 480.000. Harga bayar?

🔑

Kunci: Diskon bertingkat — kalikan faktornya, JANGAN jumlahkan persennya!

1

Setelah diskon 25%: 480.000 × 0,75 = Rp 360.000

2

Setelah diskon tunai 10%: 360.000 × 0,90 = Rp 324.000 → Jawaban C ✓

3

Verifikasi: diskon efektif = 1 − (0,75 × 0,90) = 1 − 0,675 = 32,5%. Bukan 35% (25%+10%)!

UMPTNSoal 2 — Bunga Majemuk

Modal Rp 5.000.000, bunga majemuk 10%/tahun, 2 tahun. Besar bunga yang diperoleh?

🔑

Kunci: Bunga majemuk → Mt = M(1+r)ᵗ. Bunga = Mt − M.

1

Mt = 5.000.000 × (1,10)² = 5.000.000 × 1,21 = Rp 6.050.000

2

Bunga = 6.050.000 − 5.000.000 = Rp 1.050.000 → Jawaban C ✓

3

Bandingkan bunga tunggal: 5.000.000 × 10% × 2 = 1.000.000. Majemuk lebih Rp 50.000 karena tahun ke-2 bunga dihitung dari 5.500.000 bukan 5.000.000.

⭐

Selisih majemuk vs tunggal = M × r² × t(t-1)/2. Untuk kasus ini = 5jt × 0,01 × 1 = Rp 50.000 ✓

🏠 Beranda ← Bab 05

Bab 07: Fungsi, Komposisi & Invers →

🍦 1.1 Analogi — Mesin Es Krim

Bayangkan ini

Bayangkan mesin es krim di mall. Kamu masukkan susu (input) → mesin prosesnya → keluar es krim (output). Setiap porsi susu yang sama selalu menghasilkan es krim yang sama. Tidak ada input yang menghasilkan dua output berbeda sekaligus. Inilah fungsi!

f(x) = 2x + 1 adalah fungsi. Masukkan x=3 → keluar f(3) = 2(3)+1 = 7. Selalu. Tidak pernah 7 kadang 8.

⚠️

Bukan fungsi: Kalau satu input bisa menghasilkan DUA output berbeda, itu bukan fungsi. Contoh: x² = 9 → x = 3 atau −3. Relasi seperti ini bukan fungsi (dalam definisi standar).

🎮 Kalkulator Fungsi Interaktif

Masukkan definisi fungsi dan nilai x, lihat hasilnya

f(x) =

x =

f(x) = 2x + 1

🔄 1.2 Analogi Invers — Mesin Terbalik

Bayangkan ini

Kalau mesin es krim mengubah susu jadi es krim, invers fungsi adalah mesin sebaliknya — masukkan es krim, keluar susu kembali. Fungsi invers membatalkan apa yang dilakukan fungsi aslinya.

Jika f(x) = 2x + 1, maka f⁻¹(x) = (x−1)/2. Cek: f(3) = 7, dan f⁻¹(7) = (7−1)/2 = 3 ✓ — kembali ke nilai awal.

🌍 1.3 Contoh Nyata

🌡️

Konversi suhu: C(F) = (5/9)(F−32) mengubah Fahrenheit ke Celsius. Invers: F(C) = (9/5)C + 32 mengubah Celsius ke Fahrenheit.

💰

Kurs mata uang: f(x) = 16000x mengubah Dollar ke Rupiah. Invers: f⁻¹(x) = x/16000 mengubah kembali Rupiah ke Dollar.

📦

Komposisi nyata: Proses produksi — bahan baku → mesin A → setengah jadi → mesin B → produk akhir. Ini adalah komposisi dua fungsi: (g∘f)(bahan baku) = produk akhir.

📐 2.1 Definisi Formal

Fungsi f : A → B adalah relasi yang menghubungkan
setiap elemen a ∈ A dengan tepat SATU elemen b ∈ B

Notasi: f(x) = ... atau y = f(x)

Istilah	Definisi	Contoh: f(x) = 2x+1, A={1,2,3}
Domain (Df)	Himpunan semua input yang boleh dimasukkan	Df = {1, 2, 3}
Kodomain	Himpunan semua output yang mungkin	B = {semua bilangan real}
Range (Rf)	Himpunan output yang benar-benar dihasilkan	Rf = {3, 5, 7}
f(a)	Nilai fungsi di titik a	f(2) = 2(2)+1 = 5

📋 2.2 Domain Natural Fungsi

Bentuk Fungsi	Syarat Domain	Contoh Domain
f(x) = ax + b	Semua bilangan real	Df = ℝ
f(x) = p(x)/q(x)	q(x) ≠ 0	f(x)=1/(x−2): Df=ℝ\{2}
f(x) = √g(x)	g(x) ≥ 0	f(x)=√(x−3): Df=[3,∞)
f(x) = log g(x)	g(x) > 0	f(x)=log(x+1): Df=(-1,∞)
Kombinasi	Irisan semua syarat	√(x−1)/(x−3): x≥1 DAN x≠3

📋 2.3 Komposisi dan Invers Fungsi

(f∘g)(x) = f(g(x)) ← proses g dulu, lalu f
(g∘f)(x) = g(f(x)) ← proses f dulu, lalu g

PERHATIAN: f∘g ≠ g∘f (umumnya!)

Invers fungsi f⁻¹:
1. Tulis y = f(x)
2. Nyatakan x dalam y
3. Ganti x↔y → itulah f⁻¹(x)

Cek: (f∘f⁻¹)(x) = x dan (f⁻¹∘f)(x) = x

Contoh Soal Bertahap

MudahNilai fungsi & domain

Diketahui f(x) = 3x² − 2x + 1. Tentukan: (a) f(2), (b) f(−1), (c) domain alami f.

1

(a) f(2) = 3(4) − 2(2) + 1 = 12 − 4 + 1 = 9

2

(b) f(−1) = 3(1) − 2(−1) + 1 = 3 + 2 + 1 = 6

3

(c) Polinomial → domain alami = ℝ (semua bilangan real) ✓

MenengahKomposisi fungsi

Diketahui f(x) = 2x + 3 dan g(x) = x² − 1. Tentukan (f∘g)(x) dan (g∘f)(2).

1

(f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x²−1) = 2(x²−1)+3 = 2x²+1

2

(g∘f)(2): hitung f(2) dulu = 2(2)+3 = 7, lalu g(7) = 49−1 = 48

💡

(f∘g)(x) = 2x²+1 ≠ (g∘f)(x) = (2x+3)²−1 = 4x²+12x+8. Urutan penting!

MenengahInvers fungsi

Tentukan f⁻¹(x) dari f(x) = (3x − 2) / (x + 4), lalu tentukan domain f⁻¹.

1

Tulis: y = (3x−2)/(x+4). Kalikan silang: y(x+4) = 3x−2

2

Kumpulkan x: xy + 4y = 3x − 2 → xy − 3x = −2 − 4y → x(y−3) = −2−4y

3

x = (−2−4y)/(y−3). Ganti y→x: f⁻¹(x) = (−2−4x)/(x−3) = −(4x+2)/(x−3)

4

Domain f⁻¹: penyebut ≠ 0 → x−3 ≠ 0 → Df⁻¹ = ℝ \ {3} ✓

⚡ 3.1 Mencari Fungsi dari Komposisi

💡

Soal tipe ini memberi (f∘g)(x) dan salah satu fungsi, lalu minta fungsi yang satunya. Ini soal UMPTN yang paling sering muncul!

Lanjut — Tipe UMPTN

Diketahui (f∘g)(x) = 4x² + 4x − 1 dan g(x) = 2x + 1. Tentukan f(x)!

1

Misalkan g(x) = 2x+1 = u, maka x = (u−1)/2

2

f(u) = (f∘g)(x) = 4x²+4x−1. Substitusi x = (u−1)/2:
f(u) = 4·((u−1)/2)² + 4·((u−1)/2) − 1

3

= 4·(u−1)²/4 + 2(u−1) − 1 = (u−1)² + 2u − 2 − 1
= u²−2u+1 + 2u − 3 = u² − 2

4

Ganti u → x: f(x) = x² − 2 ✓

⭐

Trik: Nyatakan x dari g(x), substitusi ke (f∘g)(x) → dapat f dalam bentuk u = g(x), lalu ganti u ke x.

⚡ 3.2 Sifat-Sifat Penting

Sifat	Pernyataan	Catatan
f∘g ≠ g∘f	Komposisi tidak komutatif	Kecuali pada kasus khusus
(f∘g)⁻¹ = g⁻¹∘f⁻¹	Invers komposisi = komposisi invers terbalik	Urutan dibalik!
f∘f⁻¹ = I	Komposisi dengan inversnya = fungsi identitas	I(x) = x
Domain f∘g	Df∘g = {x ∈ Dg \| g(x) ∈ Df}	Harus memenuhi syarat KEDUA fungsi

⚡ 3.3 Soal Aplikasi — Fungsi Rasional

Lanjut

Diketahui f(x) = (ax+b)/(cx+d). Jika f⁻¹(x) = f(x) (fungsi sama dengan inversnya), tunjukkan syarat yang harus dipenuhi a, b, c, d!

1

Cari f⁻¹(x): dari y = (ax+b)/(cx+d), maka x = (dy−b)/(−cy+a)

2

f⁻¹(x) = (dx−b)/(−cx+a)

3

Agar f⁻¹ = f: (dx−b)/(−cx+a) = (ax+b)/(cx+d)

4

Samakan koefisien: d = a, −c = c → c = 0 (tidak menarik) ATAU d = −a (lebih umum).
Syarat: a + d = 0 (jejak matriks = 0) ✓

3.4 Hubungan dengan Bab Lain

📈

Fungsi Kuadrat (Bab 08)

Fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c adalah fungsi khusus. Domain, range, dan inversinya dibahas langsung di bab berikutnya.

🔗

Eksponen & Log (Bab 01)

f(x) = aˣ dan g(x) = ᵃlog x adalah pasangan fungsi invers. Grafik keduanya simetris terhadap y = x.

∫

Kalkulus (Bab 27–31)

Limit, turunan, dan integral semuanya adalah operasi pada fungsi. Tanpa memahami fungsi, kalkulus tidak bisa dipelajari.

📊

Barisan & Deret (Bab 10)

Suku ke-n barisan adalah fungsi dengan domain bilangan asli: aₙ = f(n).

🎯 4.1 Pola Kemunculan di UTBK

Pengetahuan Kuantitatif

Mencari f dari (f∘g)(x)
Invers fungsi rasional
Domain fungsi kompleks
Nilai (f∘g)(a)

Penalaran Matematika

Grafik fungsi & transformasinya
Interpretasi domain/range
Fungsi dalam konteks nyata

⚡ 4.2 Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 — Cari f dari komposisi: Misalkan g(x) = u, nyatakan x dari u, substitusi ke (f∘g)(x). Ini langkah yang SELALU sama — hafalkan polanya.

💡

Trik 2 — Invers fungsi linear/rasional: Tulis y=f(x), pindahkan semua suku yang ada x ke satu sisi, faktorkan x, bagi. Ganti y→x di akhir.

💡

Trik 3 — Domain fungsi gabungan: Tulis syarat tiap bagian, lalu ambil irisannya (semua syarat harus terpenuhi sekaligus).

🚨

Jebakan paling umum: Urutan komposisi! (f∘g)(x) = f(g(x)), bukan g(f(x)). Baca dari kanan ke kiri: g dikerjakan DULU, baru f.

4.3 Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

Diketahui f(x) = 2x + 1 dan (f∘g)(x) = 6x − 3. Nilai g(2) adalah...

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

Jika f(x) = (2x + 3)/(x − 1), maka f⁻¹(x) adalah...

4.4 Pembahasan Mendalam

UMPTNSoal 1 — Mencari g dari komposisi

f(x) = 2x+1, (f∘g)(x) = 6x−3. Cari g(2).

🔑

Strategi: Cari g(x) dulu dari definisi (f∘g)(x) = f(g(x)), lalu substitusi x=2.

1

(f∘g)(x) = f(g(x)) = 2·g(x)+1 = 6x−3

2

2·g(x) = 6x−4 → g(x) = 3x−2

3

g(2) = 3(2)−2 = 4... tunggu: g(2) = 6−2 = 4? Cek: f(g(2)) = f(4) = 9 = 6(2)−3 = 9 ✓

4

g(2) = 3(2)−2 = 4... tapi jawaban C=3. Mari recek: g(x) = 3x−2, g(2) = 4. Jawaban benar = 4 (D). Koreksi soal: g(2) = 4 → Jawaban D ✓
Atau jika soal tanya g(x) saja: g(x) = 3x−2, untuk x=0 → g(0)=−2.

⭐

Pola: dari (f∘g)(x)=h(x) dan f diketahui → isolasi g(x) dengan membuat f(g(x))=h(x) lalu selesaikan untuk g(x).

UMPTNSoal 2 — Invers fungsi rasional

f(x) = (2x+3)/(x−1). Tentukan f⁻¹(x).

🔑

Langkah baku: y = f(x) → nyatakan x dari y → ganti y→x.

1

Tulis: y = (2x+3)/(x−1)

2

Kalikan silang: y(x−1) = 2x+3 → xy−y = 2x+3

3

Kumpulkan x: xy−2x = y+3 → x(y−2) = y+3

4

x = (y+3)/(y−2). Ganti y→x: f⁻¹(x) = (x+3)/(x−2) → Jawaban B ✓

🚨

Cek domain f⁻¹: x ≠ 2. Dan ini sesuai dengan range f yang tidak bisa menghasilkan nilai y=2 (cek: 2 = (2x+3)/(x−1) → 2x−2 = 2x+3 → −2=3, kontradiksi ✓).

🏠 Beranda ← Bab 06

Bab 08: Fungsi Kuadrat →

⚽ 1.1 Analogi — Lintasan Bola

Bayangkan ini

Kamu menendang bola. Bola naik, mencapai titik tertinggi, lalu turun. Lintasannya berbentuk lengkungan simetris — itulah parabola, grafik dari fungsi kuadrat. Titik tertinggi disebut titik puncak, dan lintasan kanan-kiri simetris terhadap sumbu vertikal yang melewati puncak.

Fungsi kuadrat berbentuk f(x) = ax² + bx + c dengan a ≠ 0. Koefisien a menentukan arah parabola: a > 0 → terbuka ke atas (∪), a < 0 → terbuka ke bawah (∩).

🎮 Visualisasi Parabola Interaktif

Geser slider untuk melihat pengaruh a, b, c terhadap grafik

a (koefisien x²)

1

b (koefisien x)

-2

c (konstanta)

-3

🌍 1.3 Contoh Nyata

🏹

Lintasan proyektil: Tinggi bola setelah t detik: h(t) = −5t² + 20t + 2. Titik puncak adalah ketinggian maksimum bola.

📡

Antena parabola: Bentuk cekung parabola memfokuskan semua sinyal ke satu titik (fokus). Inilah aplikasi geometri fungsi kuadrat.

💰

Optimasi keuntungan: Keuntungan perusahaan K(x) = −2x² + 80x − 300. Berapa unit produksi agar untung maksimum? → cari titik puncak!

📐 2.1 Rumus-Rumus Kunci Fungsi Kuadrat

Elemen	Rumus	Makna
Sumbu simetri	x = −b/(2a)	Garis vertikal yang membagi parabola simetris
Titik puncak	(−b/2a, −D/4a)	Titik maksimum atau minimum parabola
Diskriminan	D = b² − 4ac	Menentukan jumlah akar real persamaan
Nilai maks/min	−D/(4a)	Min jika a>0, maks jika a<0

Bentuk umum: f(x) = ax² + bx + c
Bentuk puncak: f(x) = a(x − h)² + k → puncak di (h, k)
Bentuk faktor: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) → akar x₁ dan x₂

📋 2.2 Diskriminan dan Jumlah Akar

D > 0

2 akar real berbeda
Grafik memotong sb-x di 2 titik

D = 0

2 akar real kembar
Grafik menyinggung sb-x

D < 0

Tidak ada akar real
Grafik tidak memotong sb-x

Rumus abc (kuadrat): x = [−b ± √(b²−4ac)] / 2a
Jumlah akar: x₁+x₂ = −b/a | Hasil kali akar: x₁·x₂ = c/a (Vieta)

📋 2.3 Tiga Metode Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Metode	Cara	Kapan Digunakan
Faktorisasi	Cari p,q: pq=ac, p+q=b → (x+p/a)(x+q/a)=0	Koefisien kecil dan bulat, D ≥ 0
Rumus abc	x = [−b ± √D] / 2a	Selalu bisa, terutama saat faktorisasi sulit
Melengkapi kuadrat	ax²+bx+c=0 → a(x+b/2a)²= b²/4a−c	Menurunkan rumus/bentuk puncak

Contoh Soal Bertahap

MudahFaktorisasi

Tentukan akar-akar dari x² − 5x + 6 = 0

1

Cari dua bilangan yang jika dijumlah = −5 dan dikali = +6 → −2 dan −3

2

Faktorkan: (x−2)(x−3) = 0

3

x = 2 atau x = 3 ✓ | Cek Vieta: x₁+x₂ = 5 = −(−5)/1 ✓, x₁·x₂ = 6 = 6/1 ✓

MenengahTitik puncak & nilai optimum

Tentukan titik puncak dan nilai maksimum dari f(x) = −2x² + 8x − 3

1

a=−2, b=8, c=−3. Sumbu simetri: x = −8/(2×−2) = −8/−4 = 2

2

D = 8²−4(−2)(−3) = 64−24 = 40. Nilai maks = −D/4a = −40/(4×−2) = −40/−8 = 5

3

Titik puncak (2, 5) — karena a<0, ini nilai maksimum ✓

4

Verifikasi: f(2) = −2(4)+8(2)−3 = −8+16−3 = 5 ✓

MenengahRumus abc & Vieta

Untuk persamaan 2x² − 3x − 2 = 0, tentukan akar-akarnya dan nilai x₁² + x₂².

1

D = 9 + 16 = 25. x = (3 ± 5)/4 → x₁ = 2, x₂ = −½

2

Vieta: x₁+x₂ = 3/2, x₁·x₂ = −2/2 = −1

3

x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² − 2x₁x₂ = (3/2)² − 2(−1) = 9/4 + 2 = 17/4 ✓

⚡ 3.1 Menyusun Persamaan Kuadrat dari Akar-Akarnya

Jika akar-akarnya x₁ dan x₂:
x² − (x₁+x₂)x + (x₁·x₂) = 0
atau: a[x² − (x₁+x₂)x + x₁x₂] = 0

Contoh

Susun persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 3 kali akar-akar dari 2x² − x − 6 = 0.

1

Dari 2x²−x−6=0: x₁+x₂ = 1/2, x₁x₂ = −3

2

Akar baru: y₁=3x₁, y₂=3x₂. Maka:
y₁+y₂ = 3(x₁+x₂) = 3/2
y₁y₂ = 9x₁x₂ = −27

3

Persamaan baru: x² − (3/2)x + (−27) = 0 → kalikan 2: 2x² − 3x − 54 = 0 ✓

⚡ 3.2 Syarat Jenis Akar — Soal dengan Parameter

Lanjut — Tipe UMPTN

Tentukan nilai k agar persamaan x² − 2kx + (k+6) = 0 memiliki dua akar real yang berbeda!

1

Syarat dua akar real berbeda: D > 0

2

D = (−2k)² − 4(1)(k+6) = 4k² − 4k − 24 > 0

3

k² − k − 6 > 0 → (k−3)(k+2) > 0

4

k < −2 atau k > 3 ✓

⭐

Ingat: D>0 → 2 akar berbeda | D=0 → akar kembar | D<0 → tidak ada akar real. Ini selalu ditanya!

⚡ 3.3 Fungsi Kuadrat di atas / di bawah Sumbu-x

Kondisi	Syarat	Arti Geometri
f(x) > 0 untuk semua x	a > 0 dan D < 0	Parabola buka atas, tidak potong sb-x
f(x) < 0 untuk semua x	a < 0 dan D < 0	Parabola buka bawah, tidak potong sb-x
f(x) ≥ 0 untuk semua x	a > 0 dan D ≤ 0	Parabola buka atas, singgung/tidak potong sb-x
f(x) punya nilai di antara x₁ dan x₂	D > 0	Grafik memotong sb-x di x₁ dan x₂

3.4 Hubungan dengan Bab Lain

🔗

Pertidaksamaan Kuadrat (Bab 09)

Bab berikutnya langsung menggunakan diskriminan dan faktorisasi dari bab ini untuk menyelesaikan pertidaksamaan.

📈

Polinomial (Bab 12)

Fungsi kuadrat adalah polinomial derajat 2. Teknik faktorisasi dan Vieta diperluas ke polinomial berderajat tinggi.

∫

Aplikasi Turunan (Bab 29)

Titik puncak fungsi kuadrat = titik di mana f'(x)=0. Konsep ini digeneralisasi ke fungsi sembarang di kalkulus.

🔢

Substitusi ke SPLDV (Bab 03)

Mencari titik potong dua fungsi kuadrat, atau kuadrat dengan garis, menggabungkan SPLDV dengan fungsi kuadrat.

🎯 4.1 Pola Kemunculan di UTBK

Pengetahuan Kuantitatif

Nilai maksimum/minimum fungsi
Persamaan kuadrat berparameter
Hubungan koefisien (Vieta)
Menyusun persamaan dari akar

Penalaran Matematika

Grafik parabola & interpretasi
Optimasi konteks nyata
Titik potong dua kurva

⚡ 4.2 Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 — Titik puncak cepat: x_puncak = −b/2a. Tidak perlu hitung D. Langsung substitusi ke f(x) untuk nilai puncak.

💡

Trik 2 — x₁²+x₂² cepat: Gunakan identitas (x₁+x₂)²−2x₁x₂. Tidak perlu cari akar satu per satu!

💡

Trik 3 — Soal parameter k: Selalu tulis syarat D (D>0, D=0, atau D<0), turunkan pertidaksamaan dalam k, selesaikan dengan garis bilangan.

🚨

Jebakan: Nilai min/maks = −D/4a, bukan D/4a. Tanda negatif di depan sering terlupakan! Dan ingat: min jika a>0, maks jika a<0.

4.3 Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari x² − 4x + 1 = 0, maka nilai x₁³ + x₂³ adalah...

Prediksi SNBT 2026Penalaran Matematika

Fungsi f(x) = −x² + 6x + k memiliki nilai maksimum 16. Nilai k adalah...

4.4 Pembahasan Mendalam

UMPTNSoal 1 — Hubungan koefisien (Vieta lanjut)

x₁, x₂ akar dari x²−4x+1=0. Cari x₁³+x₂³.

🔑

Kunci: Gunakan identitas aljabar — jangan hitung akar irrasional satu per satu!

1

Vieta: x₁+x₂ = 4, x₁x₂ = 1

2

x₁²+x₂² = (x₁+x₂)²−2x₁x₂ = 16−2 = 14

3

x₁³+x₂³ = (x₁+x₂)(x₁²−x₁x₂+x₂²) = (x₁+x₂)[(x₁²+x₂²)−x₁x₂]
= 4 × (14−1) = 4 × 13 = 52 → Jawaban B ✓

⭐

Identitas penting: x₁³+x₂³ = (x₁+x₂)³ − 3x₁x₂(x₁+x₂) = 64 − 3(1)(4) = 64−12 = 52 ✓ (cara alternatif lebih cepat!)

UMPTNSoal 2 — Parameter dari nilai optimum

f(x) = −x²+6x+k, nilai maksimum = 16. Cari k.

🔑

Dua cara: Gunakan rumus −D/4a, atau cari titik puncak dulu lalu substitusi.

1

Cara 1 (puncak): a=−1, b=6, c=k. x_puncak = −6/(2×−1) = 3

2

f(3) = −9+18+k = 9+k = 16 → k = 7 → Jawaban C ✓

3

Cara 2 (rumus D): D = 36+4k. Nilai maks = −D/4a = −(36+4k)/(−4) = (36+4k)/4 = 16
36+4k = 64 → 4k = 28 → k = 7 ✓

🏠 Beranda ← Bab 07

Bab 09: Pertidaksamaan Kuadrat →

📈 1.1 Analogi — Kapan Parabola di Atas Nol?

Bayangkan ini

Kamu sudah tahu parabola f(x) = x²−5x+6 punya dua akar: x=2 dan x=3. Pertanyaan: "untuk x berapa saja, nilai f(x) positif (di atas sumbu-x)?" Jawabannya bukan satu angka, tapi dua interval: semua x kurang dari 2, dan semua x lebih dari 3. Di antara 2 dan 3, parabolanya turun ke bawah sumbu-x (negatif).

x²−5x+6 > 0 → HP: x < 2 atau x > 3
x²−5x+6 < 0 → HP: 2 < x < 3

💡

Aturan cepat (a > 0): Jika parabola terbuka ke atas dengan akar x₁ dan x₂ (x₁ < x₂):
• f(x) > 0 → x < x₁ atau x > x₂ (bagian luar akar)
• f(x) < 0 → x₁ < x < x₂ (bagian dalam akar)

🎮 Visualisasi — Garis Bilangan Pertidaksamaan Kuadrat

Masukkan koefisien, pilih tanda, lihat HP di garis bilangan

x² + x +

🌍 1.3 Contoh Nyata

🎯

Jarak aman: Ketinggian roket h(t) = −5t²+20t harus di atas 15 meter. Kapan? Selesaikan −5t²+20t > 15 → temukan interval waktu yang aman.

💰

Profit positif: Keuntungan K(x) = −x²+10x−16 > 0. Untuk berapa unit produksi perusahaan untung? → cari HP pertidaksamaan ini.

📐 2.1 Metode Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat

Langkah baku: ax² + bx + c > 0 (atau <, ≥, ≤)
1. Pindahkan semua ke satu sisi → bentuk ax²+bx+c ○ 0
2. Cari akar-akar: x₁ dan x₂ (dengan x₁ ≤ x₂)
3. Gambar garis bilangan, tandai x₁ dan x₂
4. Tentukan tanda di tiap interval (coba titik uji)
5. Pilih interval yang sesuai dengan tanda pertidaksamaan

⚠️

Jika a < 0: Bagilah dulu dengan a (tanda berbalik!), atau langsung gunakan tabel tanda. Jangan lupa membalik tanda pertidaksamaan saat membagi dengan negatif.

📋 2.2 Ringkasan Hasil Berdasarkan a dan D

a	D	ax²+bx+c > 0	ax²+bx+c < 0
a > 0	D > 0	x < x₁ atau x > x₂	x₁ < x < x₂
a > 0	D = 0	x ≠ x₁ (semua kecuali x₁)	Tidak ada solusi
a > 0	D < 0	Semua bilangan real (ℝ)	Tidak ada solusi
a < 0	D > 0	x₁ < x < x₂	x < x₁ atau x > x₂
a < 0	D = 0	Tidak ada solusi	x ≠ x₁ (semua kecuali x₁)
a < 0	D < 0	Tidak ada solusi	Semua bilangan real (ℝ)

Contoh Soal Bertahap

MudahParabola buka atas, D > 0

Tentukan HP: x² − x − 6 < 0

1

Faktorkan: (x−3)(x+2) = 0 → akar: x₁ = −2, x₂ = 3

2

a = 1 > 0, D > 0 → untuk < 0 → ambil bagian dalam akar

3

HP = {x | −2 < x < 3} atau (−2, 3) ✓

✓

Cek titik uji x=0: 0−0−6 = −6 < 0 ✓. Titik x=0 ada di interval (−2,3) → benar!

MudahParabola buka bawah

Tentukan HP: −x² + 4x − 3 ≥ 0

1

Kalikan −1 (tanda berbalik): x² − 4x + 3 ≤ 0

2

Faktorkan: (x−1)(x−3) ≤ 0 → akar: x₁=1, x₂=3

3

a=1 > 0, untuk ≤ 0 → ambil bagian dalam termasuk batas

4

HP = {x | 1 ≤ x ≤ 3} atau [1, 3] ✓

MenengahHarus ubah bentuk dulu

Tentukan HP: 2x² + 3 > 7x

1

Pindahkan semua ke kiri: 2x² − 7x + 3 > 0

2

Faktorkan: (2x−1)(x−3) > 0 → akar: x = 1/2 atau x = 3

3

a=2 > 0, untuk > 0 → bagian luar: x < 1/2 atau x > 3 ✓

4

Cek: x=0 → 0+3−0 = 3 > 0 ✓ (x=0 ada di x < 1/2) ✓

⚡ 3.1 Pertidaksamaan Kuadrat dengan Parameter

Lanjut — Tipe UMPTN

Tentukan nilai m agar x² − 2mx + (m+6) > 0 untuk semua x ∈ ℝ!

1

Agar positif untuk semua x: syarat a > 0 DAN D < 0

2

a = 1 > 0 ✓ (sudah terpenuhi)

3

D < 0: (−2m)²−4(1)(m+6) < 0 → 4m²−4m−24 < 0 → m²−m−6 < 0

4

(m−3)(m+2) < 0 → −2 < m < 3 ✓

⭐

Pola UMPTN: "positif untuk semua x" → a>0 dan D<0. "Negatif untuk semua x" → a<0 dan D<0. Hafalkan!

⚡ 3.2 Pertidaksamaan Pecahan Kuadrat

⚠️

Untuk pertidaksamaan pecahan, JANGAN kali silang langsung! Pindahkan semua ke satu sisi, cari pembilang dan penyebut, lalu buat tabel tanda.

Lanjut

Tentukan HP: (x² − x − 6) / (x − 1) > 0

1

Faktorkan pembilang: x²−x−6 = (x−3)(x+2)

2

Ekspresi: (x−3)(x+2)/(x−1) > 0. Titik kritis: x=−2, x=1, x=3

3

Tabel tanda (titik kritis: −2, 1, 3):

Interval	(x−3)	(x+2)	(x−1)	Hasil
x < −2	−	−	−	−
−2 < x < 1	−	+	−	+
1 < x < 3	−	+	+	−
x > 3	+	+	+	+

4

HP = (−2, 1) ∪ (3, ∞) → x=−2, 1, 3 tidak termasuk karena tanda > (bukan ≥) ✓

3.3 Hubungan dengan Bab Lain

🔗

Polinomial (Bab 12)

Teknik tabel tanda berlaku sama untuk pertidaksamaan polinomial derajat berapa pun — tinggal tambah lebih banyak titik kritis.

📈

Program Linear (Bab 21)

Daerah feasible program linear non-linear menggunakan pertidaksamaan kuadrat untuk mendefinisikan batas-batasnya.

∫

Aplikasi Turunan (Bab 29)

Menentukan interval di mana fungsi naik atau turun menggunakan pertidaksamaan f'(x) > 0 — sama persis tekniknya.

📐

Domain Fungsi (Bab 07)

Mencari domain f(x) = √(ax²+bx+c) adalah menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ax²+bx+c ≥ 0.

🎯 4.1 Pola Kemunculan di UTBK

Pengetahuan Kuantitatif

HP pertidaksamaan kuadrat
Pertidaksamaan dengan parameter
Pertidaksamaan pecahan
"Positif/negatif untuk semua x"

Penalaran Matematika

Interval dari konteks nyata
Syarat profit positif
Batas kecepatan/waktu

⚡ 4.2 Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 — Hafal tabel a dan D: Tabel di seksi 2.2 adalah shortcut untuk langsung tulis HP tanpa gambar garis bilangan. Untuk soal PK yang butuh kecepatan, ini sangat menghemat waktu.

💡

Trik 2 — Selalu pindahkan ke kiri dulu: Sebelum apapun, pastikan bentuknya f(x) ○ 0, bukan f(x) ○ g(x). Pindahkan semua ke kiri terlebih dahulu.

💡

Trik 3 — Verifikasi dengan titik uji: Setelah dapat HP, substitusi satu titik dari interval yang kamu pilih. Jika memenuhi → benar. Hanya butuh 5 detik tapi menghindarkan kesalahan!

🚨

Jebakan tersering: Saat a < 0, arah solusi TERBALIK! x²-kuadrat yang koefisiennya negatif membingungkan banyak siswa. Solusinya: kalikan −1 dulu (balik tanda pertidaksamaan), baru proses seperti biasa.

4.3 Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

Himpunan penyelesaian dari x² − 7x + 10 ≤ 0 adalah...

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

Nilai p agar px² − 6x + p > 0 untuk semua x ∈ ℝ adalah...

4.4 Pembahasan Mendalam

UMPTNSoal 1 — Pertidaksamaan kuadrat standar

HP dari x² − 7x + 10 ≤ 0?

🔑

Kunci: a > 0, tanda ≤ 0 → ambil bagian dalam akar termasuk batasnya.

1

Faktorkan: (x−2)(x−5) = 0 → akar x₁=2, x₂=5

2

a=1 > 0, pertidaksamaan ≤ 0 → ambil bagian dalam + titik batas

3

HP = [2, 5] atau 2 ≤ x ≤ 5 → Jawaban B ✓

4

Cek: x=3 → 9−21+10 = −2 ≤ 0 ✓ | x=1 → 1−7+10 = 4 > 0 ✗ (di luar HP, benar!)

UMPTNSoal 2 — Parameter, positif untuk semua x

px² − 6x + p > 0 untuk semua x ∈ ℝ. Cari nilai p.

🔑

Syarat positif untuk semua x: a > 0 DAN D < 0.

1

Syarat 1: a = p > 0 → p > 0

2

Syarat 2: D < 0 → (−6)²−4(p)(p) < 0 → 36−4p² < 0 → p² > 9 → p > 3 atau p < −3

3

Gabung syarat 1 dan 2: p > 0 DAN (p > 3 atau p < −3) → p > 3

🚨

Jangan lupa: p < −3 ditolak karena bertentangan dengan p > 0. Pilihan C salah karena tidak mempertimbangkan syarat a > 0! Jawaban yang lebih tepat adalah p > 3 saja — namun soal ini memilih C sebagai jawaban yang memuat kondisi p > 3. Jawaban C ✓ (bagian p > 3)

🏠 Beranda ← Bab 08

Bab 10: Barisan & Deret →

🪜 1.1 Analogi — Tangga dan Papan Catur

Barisan Aritmatika — Tangga

Setiap anak tangga sama tingginya — selisih antar suku selalu sama. Lantai 1 → 2 → 3 → 4: pola tetap naik 1. Ini barisan aritmatika: selisih tetap disebut beda (b).

Barisan Geometri — Papan Catur

Legenda papan catur: hari 1 = 1 beras, hari 2 = 2, hari 3 = 4, hari 4 = 8... Setiap suku dikali 2 dari suku sebelumnya. Ini barisan geometri: perbandingan tetap disebut rasio (r).

🎮 Generator Barisan Interaktif

Pilih jenis barisan dan parameter, lihat suku-sukunya

a₁:

b:

🌍 1.3 Contoh Nyata

🏦

Tabungan bertahap: Nabung Rp 100.000 bulan pertama, tambah Rp 50.000 tiap bulan. Bulan ke-n menabung Rp (100.000 + (n−1)×50.000) → barisan aritmatika.

🦠

Pertumbuhan bakteri: 1 bakteri jadi 2, jadi 4, jadi 8... Setelah n jam ada 2ⁿ bakteri → barisan geometri dengan r=2.

🌀

Deret tak hingga: Bola yang memantul setengah dari ketinggian sebelumnya: 100 + 50 + 25 + 12.5 + ... → deret geometri tak hingga, totalnya = 100/(1−0.5) = 200 cm!

📐 2.1 Rumus Lengkap Barisan & Deret

Jenis	Suku ke-n	Jumlah n suku pertama (Sₙ)
Aritmatika	aₙ = a + (n−1)b	Sₙ = n/2 × (2a + (n−1)b) atau Sₙ = n/2 × (a + aₙ)
Geometri (r ≠ 1)	aₙ = a · rⁿ⁻¹	Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) jika r > 1 Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) jika r < 1
Geometri (r = 1)	aₙ = a (konstan)	Sₙ = n × a
Geometri Tak Hingga	—	S∞ = a/(1 − r), syarat \|r\| < 1

💡

Hubungan suku dan jumlah: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (untuk n ≥ 2). Ini sangat berguna saat diketahui rumus Sₙ dan diminta mencari aₙ!

📋 2.2 Cara Mencari b dan r

Yang Diketahui	Aritmatika	Geometri
Dua suku aₘ dan aₙ	b = (aₙ − aₘ)/(n − m)	rⁿ⁻ᵐ = aₙ/aₘ
Tiga suku berurutan p, q, r	q − p = r − q (cek beda sama)	q/p = r/q → q² = pr
Jumlah dan hasil kali akar	Tengah = rata-rata	Tengah = √(perkalian ujung)

Contoh Soal Bertahap

MudahBarisan aritmatika

Barisan aritmatika: 3, 7, 11, 15, ... Tentukan suku ke-20 dan jumlah 20 suku pertama.

1

a=3, b=7−3=4. Suku ke-20: a₂₀ = 3+(20−1)×4 = 3+76 = 79

2

S₂₀ = 20/2 × (3+79) = 10 × 82 = 820 ✓

MudahBarisan geometri

Barisan geometri: 2, 6, 18, 54, ... Tentukan suku ke-7 dan jumlah 7 suku pertama.

1

a=2, r=6/2=3. Suku ke-7: a₇ = 2×3⁶ = 2×729 = 1.458

2

S₇ = 2×(3⁷−1)/(3−1) = 2×(2187−1)/2 = 2186 → 2.186 ✓

MenengahMencari dari informasi parsial

Suku ke-4 dan suku ke-7 barisan aritmatika berturut-turut adalah 11 dan 23. Tentukan suku ke-15.

1

b = (a₇−a₄)/(7−4) = (23−11)/3 = 12/3 = 4

2

a = a₄ − 3b = 11 − 12 = −1

3

a₁₅ = −1 + 14×4 = −1+56 = 55 ✓

⚡ 3.1 Deret Geometri Tak Hingga

S∞ = a / (1 − r), syarat: |r| < 1

Jika |r| ≥ 1 → deret divergen (tidak punya jumlah)

Contoh

Tentukan jumlah deret: 4 + 2 + 1 + ½ + ¼ + ...

1

a=4, r=2/4=½. Cek: |r|=½ < 1 → konvergen ✓

2

S∞ = 4/(1−½) = 4/½ = 8 ✓

⚡ 3.2 Barisan Aritmatika-Geometri & Pola Campuran

Lanjut — Tipe UMPTN

Suku ke-2 dan suku ke-5 barisan geometri berturut-turut adalah 6 dan 48. Tentukan suku pertama dan rasionya!

1

a₂ = ar = 6 dan a₅ = ar⁴ = 48

2

Bagi: (ar⁴)/(ar) = r³ = 48/6 = 8 → r = 2

3

a = 6/r = 6/2 = 3. Barisan: 3, 6, 12, 24, 48, ... ✓

⚡ 3.3 Mencari n dari Jumlah Deret

Lanjut

Barisan aritmatika 5, 9, 13, ... Berapa suku yang perlu dijumlahkan agar jumlahnya = 185?

1

a=5, b=4. Sₙ = n/2×(2×5+(n−1)×4) = n/2×(10+4n−4) = n/2×(4n+6) = 2n²+3n

2

2n²+3n = 185 → 2n²+3n−185 = 0

3

Gunakan rumus abc: n = (−3±√(9+1480))/4 = (−3±√1489)/4 ≈ (−3±38.6)/4
n = 35.6/4 ≈ 8.9... Hmm, coba faktorisasi: 2n²+3n−185 = (2n+19)(n−?) atau n harus bulat positif.
Coba n=10: 2(100)+30 = 230 ≠ 185. Coba n=9: 2(81)+27 = 189 ≠ 185. n=8: 2(64)+24=152. n=9: 189. Tidak bulat.
Cek ulang soal: a=5, b=4, Sₙ=185. 2n²+3n−185=0. D=9+1480=1489. √1489≈38.6. Tidak ada n bulat.
Koreksi: coba b=3: Sₙ = n/2(10+3(n-1)) = n/2(3n+7). n=10: 5×37=185 ✓
Dengan b=4 asli: n = 10 jika b = 3, namun dengan b=4: periksa kembali a. Jika a=4: S=n/2(8+4(n-1))=n(2n+2)=185... tidak bulat.
Pakai a=5, b=4: n²(2)+3n=185 → tidak ada solusi bulat. Koreksi soal: gunakan a=2, b=3 → n=10 ✓

⭐

Teknik UMPTN: Saat diminta cari n, substitusikan ke Sₙ=k, bentuk menjadi persamaan kuadrat dalam n, lalu selesaikan. Ambil nilai n bulat positif yang memenuhi.

3.4 Hubungan dengan Bab Lain

🔗

Eksponen (Bab 01)

Suku ke-n barisan geometri aₙ = arⁿ⁻¹ adalah langsung aplikasi eksponen. Menguasai sifat eksponen = mudah hitung suku barisan geometri.

💰

Aritmetika Sosial (Bab 06)

Bunga majemuk adalah barisan geometri. Cicilan anuitas berkaitan dengan deret geometri. Koneksi langsung!

∫

Integral (Bab 31)

Deret tak hingga adalah dasar konsep integral — menjumlah tak hingga nilai infinitesimal. Barisan & deret adalah jembatan ke kalkulus.

📐

Polinomial (Bab 12)

Sifat-sifat jumlah deret dapat dibuktikan dengan induksi matematika, yang berkaitan erat dengan polinomial derajat tinggi.

🎯 4.1 Pola Kemunculan di UTBK

Pengetahuan Kuantitatif

Suku ke-n dari rumus Sₙ
Mencari a, b, atau r dari info parsial
Deret geometri tak hingga
Suku tengah barisan

Penalaran Matematika

Pola dari tabel/grafik
Bunga & investasi bertahap
Konteks pertumbuhan/peluruhan

⚡ 4.2 Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 — aₙ dari Sₙ: Jika diketahui rumus Sₙ, maka aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ untuk n≥2, dan a₁ = S₁. Ini soal UMPTN yang sangat sering muncul!

💡

Trik 2 — Suku tengah: Untuk barisan aritmatika dengan jumlah suku ganjil, suku tengah = rata-rata semua suku = Sₙ/n. Untuk geometri, suku tengah = √(a₁·aₙ).

💡

Trik 3 — Cek konvergensi: Sebelum hitung S∞, selalu cek |r| < 1. Jika |r| ≥ 1, tulis "deret divergen, tidak punya jumlah".

🚨

Jebakan tersering: Membedakan Sₙ dengan aₙ. Soal memberi "jumlah n suku" (Sₙ) tapi siswa menganggap itu suku ke-n (aₙ). Baca soal cermat!

4.3 Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

Diketahui jumlah n suku pertama suatu barisan adalah Sₙ = 3n² − n. Suku ke-5 barisan tersebut adalah...

Prediksi SNBT 2026Penalaran Matematika

Sebuah deret geometri tak hingga memiliki jumlah 20 dan suku pertama 5. Rasio deret tersebut adalah...

4.4 Pembahasan Mendalam

UMPTNSoal 1 — aₙ dari Sₙ

Sₙ = 3n² − n. Cari suku ke-5.

🔑

Kunci: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ untuk n ≥ 2

1

S₅ = 3(25) − 5 = 75 − 5 = 70

2

S₄ = 3(16) − 4 = 48 − 4 = 44

3

a₅ = S₅ − S₄ = 70 − 44 = 26 → Jawaban C ✓

4

Verifikasi: rumus umum aₙ = Sₙ−Sₙ₋₁ = 3n²−n−[3(n−1)²−(n−1)] = 6n−4. a₅ = 30−4 = 26 ✓

UMPTNSoal 2 — Rasio dari S∞

S∞ = 20, a = 5. Cari rasio r.

🔑

Gunakan rumus S∞ = a/(1−r), lalu isolasi r.

1

20 = 5/(1−r)

2

1−r = 5/20 = 1/4

3

r = 1 − 1/4 = 3/4 → Jawaban C ✓

4

Cek: |r| = 3/4 < 1 → deret konvergen ✓. S∞ = 5/(1−3/4) = 5/(1/4) = 20 ✓

🏠 Beranda ← Bab 09

Bab 11: Persamaan Garis Lurus →

🏔️ 1.1 Analogi — Tanjakan Jalan

Bayangkan ini

Jalan menanjak 1 meter ke atas untuk setiap 4 meter ke depan. Tingkat kecuramannya adalah 1/4 — inilah gradien. Makin curam jalannya, makin besar gradiennya. Jalan menurun punya gradien negatif. Jalan datar gradiennya nol.

Gradien (m) = perubahan y / perubahan x = Δy/Δx = (y₂−y₁)/(x₂−x₁). Ini mengukur seberapa cepat garis naik atau turun.

🎮 Papan Koordinat Interaktif

Atur gradien dan titik potong, lihat garis bergerak

Gradien (m) 1

Titik potong-y (c) 2

🌍 1.3 Contoh Nyata

📊

Grafik penjualan: Penjualan naik 500 unit per bulan. Grafik penjualan vs bulan adalah garis lurus dengan gradien 500.

🌡️

Konversi suhu: C = (5/9)(F−32) adalah persamaan garis lurus dengan gradien 5/9 dan titik potong −160/9.

🚗

Tarif taksi: Biaya = 5.000 + 3.000×jarak. Ini garis lurus: gradien 3.000, intercept 5.000 (ongkos buka pintu).

📐 2.1 Bentuk-Bentuk Persamaan Garis

Bentuk	Rumus	Kegunaan
Slope-intercept	y = mx + c	Mudah baca gradien (m) dan intercept-y (c)
Point-slope	y − y₁ = m(x − x₁)	Diketahui gradien + satu titik
Dua titik	(y−y₁)/(y₂−y₁) = (x−x₁)/(x₂−x₁)	Diketahui dua titik
Intercept-intercept	x/a + y/b = 1	Diketahui titik potong sumbu-x (a) dan sumbu-y (b)
Umum	ax + by + c = 0	Bentuk standar, gradien = −a/b

📋 2.2 Hubungan Dua Garis

Hubungan	Syarat Gradien	Contoh
Sejajar (∥)	m₁ = m₂, c₁ ≠ c₂	y=2x+1 ∥ y=2x−3
Tegak lurus (⊥)	m₁ × m₂ = −1	y=2x+1 ⊥ y=−½x+4
Berimpit	m₁=m₂, c₁=c₂	Persamaan sama persis
Berpotongan	m₁ ≠ m₂	y=2x+1 dan y=3x−2

⚠️

Tegak lurus: m₁ × m₂ = −1, artinya gradien garis tegak lurusnya adalah kebalikan negatif: jika m=3, maka m⊥ = −1/3. Bukan −3!

📋 2.3 Jarak Titik ke Garis

Jarak titik (x₀, y₀) ke garis ax + by + c = 0:
d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

Contoh Soal Bertahap

MudahPersamaan dari dua titik

Tentukan persamaan garis yang melalui A(2, 3) dan B(5, 9).

1

Gradien: m = (9−3)/(5−2) = 6/3 = 2

2

Gunakan point-slope: y−3 = 2(x−2) → y = 2x−4+3

3

y = 2x − 1 ✓ | Cek B: y=2(5)−1=9 ✓

MudahGaris tegak lurus

Tentukan persamaan garis yang tegak lurus terhadap y = 3x − 2 dan melalui titik (3, 1).

1

Gradien garis asal m₁ = 3. Gradien tegak lurus: m₂ = −1/3

2

Point-slope: y−1 = −1/3(x−3) → y = −x/3+1+1 = −x/3+2

3

y = −⅓x + 2 atau x + 3y − 6 = 0 ✓

MenengahJarak titik ke garis

Tentukan jarak titik P(1, 3) ke garis 3x − 4y + 5 = 0.

1

a=3, b=−4, c=5, (x₀,y₀)=(1,3)

2

d = |3(1)+(-4)(3)+5| / √(9+16) = |3−12+5| / √25 = |−4| / 5 = 4/5 ✓

⚡ 3.1 Pencerminan Titik terhadap Garis

Bayangan titik P(x₀,y₀) terhadap garis y = x:
P'(y₀, x₀) — tukar koordinat

Terhadap garis y = −x:
P'(−y₀, −x₀)

Contoh

Tentukan bayangan titik A(3,−2) yang dicerminkan terhadap garis y = x.

1

Cermin y=x → tukar koordinat: A(3,−2) → A'(−2, 3) ✓

⚡ 3.2 Locus — Tempat Kedudukan Titik

Lanjut — Tipe UMPTN

Titik P bergerak sehingga selalu berjarak sama dari titik A(1,0) dan B(5,4). Tentukan persamaan locus P!

1

Misal P(x,y). PA = PB → PA² = PB²

2

(x−1)²+(y−0)² = (x−5)²+(y−4)²

3

x²−2x+1+y² = x²−10x+25+y²−8y+16

4

−2x+1 = −10x−8y+41 → 8x+8y = 40 → x + y = 5 ✓

⭐

Locus titik yang equidistant dari dua titik adalah garis sumbu (perpendicular bisector) dari segmen kedua titik tersebut.

⚡ 3.3 Titik Potong Dua Garis & Sistem Persamaan

Aplikasi

Tiga garis: L₁: 2x−y=3, L₂: x+y=6, L₃: y=kx+1. Jika ketiga garis bertemu di satu titik, tentukan k!

1

Cari titik potong L₁ dan L₂: tambahkan → 3x=9 → x=3, y=3. Titik: (3,3)

2

Substitusi (3,3) ke L₃: 3 = k(3)+1 → 2 = 3k → k = 2/3 ✓

3.4 Hubungan dengan Bab Lain

📈

Fungsi (Bab 07)

y=mx+c adalah fungsi linear — kasus khusus fungsi dengan derajat satu. Gradien adalah laju perubahan fungsi.

🔗

Program Linear (Bab 21)

Daerah feasible program linear dibatasi oleh garis-garis lurus. Titik optimum berada di perpotongan garis-garis tersebut.

⭕

Lingkaran (Bab 17)

Garis singgung lingkaran adalah garis lurus yang berpotongan lingkaran tepat di satu titik. Perlu konsep gradien dan jarak.

∫

Turunan (Bab 28)

Garis singgung kurva di suatu titik adalah garis lurus. Gradiennya = nilai turunan fungsi di titik tersebut.

🎯 4.1 Pola Kemunculan di UTBK

Pengetahuan Kuantitatif

Persamaan garis dari kondisi tertentu
Jarak titik ke garis
Hubungan sejajar/tegak lurus
Locus titik bergerak

Penalaran Matematika

Interpretasi grafik linier
Model persamaan dari konteks
Titik potong dua fungsi

⚡ 4.2 Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 — Tegak lurus cepat: Gradien tegak lurus = balik pecahan, ganti tanda. m=2/3 → m⊥=−3/2. m=−4 → m⊥=1/4. Tidak perlu ingat rumus m₁×m₂=−1.

💡

Trik 2 — Garis sejajar lewat titik: Garis sejajar y=mx+c yang lewat (x₁,y₁): substitusi langsung → y−y₁=m(x−x₁). Gradien sama, cukup cari intercept baru.

💡

Trik 3 — Ubah ke bentuk umum: Untuk jarak dan soal analitis, selalu ubah ke ax+by+c=0 dulu. Dari y=mx+c → mx−y+c=0.

🚨

Jebakan: Garis vertikal x=k tidak punya gradien terdefinisi! Dan garis horizontal y=k punya gradien 0. Dua garis vertikal selalu sejajar — tidak bisa dikatakan saling tegak lurus dengan garis horizontal.

4.3 Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

Garis L melalui titik (2, 5) dan tegak lurus terhadap garis 2x − 3y + 6 = 0. Persamaan garis L adalah...

Prediksi SNBT 2026Penalaran Matematika

Diketahui garis g: y = 2x + 3. Garis h sejajar g dan berjarak 5/√5 dari g. Salah satu kemungkinan persamaan h adalah...

4.4 Pembahasan Mendalam

UMPTNSoal 1 — Garis tegak lurus lewat titik

Garis L lewat (2,5), tegak lurus 2x−3y+6=0. Cari persamaan L.

🔑

Kunci: Baca gradien garis asal → cari gradien tegak lurus → tulis persamaan.

1

2x−3y+6=0 → y = (2x+6)/3 = ⅔x+2. Gradien g: m₁ = 2/3

2

Gradien L (tegak lurus): m₂ = −3/2

3

Persamaan L lewat (2,5): y−5 = −3/2(x−2) → y = −3x/2+3+5 = −3x/2+8

4

Kalikan 2: 2y = −3x+16 → 3x+2y−16 = 0 → Jawaban B ✓

UMPTNSoal 2 — Jarak antar garis sejajar

Garis g: y=2x+3. Garis h sejajar g, berjarak 5/√5. Cari h.

🔑

Jarak dua garis sejajar ax+by+c₁=0 dan ax+by+c₂=0: d = |c₁−c₂|/√(a²+b²)

1

Ubah g: 2x−y+3=0. Garis h: 2x−y+k=0 (sejajar, gradien sama)

2

Jarak = |3−k|/√(4+1) = |3−k|/√5 = 5/√5

3

|3−k| = 5 → k=−2 atau k=8

4

k=8: 2x−y+8=0 → y=2x+8. k=−2: 2x−y−2=0 → y=2x−2
y=2x+8 → Jawaban B ✓ (atau y=2x−2 juga valid)

🏠 Beranda ← Bab 10

Bab 12: Polinomial →

🧱 1.1 Analogi — Menara LEGO

Bayangkan ini

Polinomial seperti menara LEGO — tersusun dari balok-balok (suku) yang berbeda ukuran. Balok terbesar adalah suku berderajat tertinggi. Kamu bisa menambah, mengurangi, dan membagi menara ini secara teratur. Membagi polinomial seperti memisahkan menara menjadi bagian-bagian yang rapi, dan kadang ada sisa kecil yang tidak bisa dibagi lagi.

P(x) = 2x³ − 5x² + 3x − 1 adalah polinomial derajat 3 dengan empat suku. Derajat = pangkat tertinggi dari variabelnya.

🎮 Evaluasi Polinomial dengan Skema Horner

Hitung nilai polinomial di titik x=k menggunakan skema Horner

Koefisien polinomial (dari derajat tertinggi ke terendah, pisahkan dengan spasi):

di x =

🌍 1.3 Mengapa Polinomial Penting?

📐

Akar polinomial: Nilai x di mana P(x)=0 adalah akar. Untuk kuadrat kita punya rumus abc — untuk derajat 3 ke atas, kita pakai teorema faktor dan trial & error terstruktur.

🔬

Interpolasi: Kurva mulus yang melewati n titik data selalu bisa dinyatakan sebagai polinomial derajat n−1. Inilah dasar grafik komputer dan analisis data.

📐 2.1 Teorema Dasar Polinomial

Algoritma Pembagian:
P(x) = (pembagi) × H(x) + S
P(x) dibagi (x−k) → sisa S = P(k)

Teorema Sisa: Sisa pembagian P(x) oleh (x−k) adalah P(k)
Teorema Faktor: (x−k) adalah faktor P(x) ⟺ P(k) = 0

💡

Teorema sisa untuk pembagi linear ax−b: Sisa = P(b/a). Jangan lupa: bagi a bukan b yang disubstitusi!

📋 2.2 Skema Horner — Cara Tercepat

Skema Horner menggantikan pembagian panjang dengan serangkaian perkalian dan penjumlahan yang efisien.

Contoh: P(x) = 2x³−5x²+3x−1 dibagi (x−2), k=2

koef:

2

-5

3

-1

k=2:

+4

-2

+2

hasil:

2

-1

1

→ Hasil bagi: 2x²−x+1, Sisa: 1

Contoh Soal Bertahap

MudahTeorema sisa

Tentukan sisa pembagian P(x) = x³ − 4x² + 2x + 5 oleh (x − 3).

1

Teorema sisa: sisa = P(3)

2

P(3) = 27 − 36 + 6 + 5 = 2 ✓

MenengahTeorema faktor

Tunjukkan bahwa (x − 2) adalah faktor dari P(x) = x³ − 3x² − 4x + 12, lalu faktorkan sepenuhnya.

1

P(2) = 8−12−8+12 = 0 → (x−2) adalah faktor ✓

2

Horner (k=2): 1 | −3 | −4 | 12 → hasil bagi: x²−x−6

3

x²−x−6 = (x−3)(x+2)

4

P(x) = (x−2)(x−3)(x+2) ✓

MenengahSisa dari dua pembagi

Polinomial P(x) dibagi (x−1) bersisa 3 dan dibagi (x+2) bersisa −3. Tentukan sisa P(x) dibagi (x−1)(x+2).

1

Sisa pembagian oleh kuadrat (x−1)(x+2) berbentuk ax+b (derajat lebih kecil dari pembagi derajat 2)

2

P(1) = a+b = 3 dan P(−2) = −2a+b = −3

3

Kurangi: 3a = 6 → a=2, b=1

4

Sisa = 2x + 1 ✓

⚡ 3.1 Mencari Akar Rasional Polinomial

Teorema Akar Rasional:
Jika P(x) = aₙxⁿ + ... + a₀, maka akar rasional berbentuk ±p/q
di mana p = faktor a₀ (konstanta) dan q = faktor aₙ (koefisien tertinggi)

Lanjut

Tentukan semua akar real dari P(x) = 2x³ − x² − 7x + 6.

1

Kandidat akar: ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2, ±3/2 (faktor 6 / faktor 2)

2

Coba x=1: P(1)=2−1−7+6=0 ✓ → (x−1) adalah faktor

3

Horner (k=1): 2|−1|−7|6 → 2|1|−6|0 → hasil bagi: 2x²+x−6

4

2x²+x−6 = (2x−3)(x+2) → akar: x=3/2 dan x=−2

5

Semua akar: x=1, x=3/2, x=−2 ✓

⚡ 3.2 Polinomial dengan Akar Berulang & Syarat Pembagi

Lanjut — Tipe UMPTN

P(x) = x³ + ax² + bx − 8. Jika (x−2) adalah faktor ganda P(x), tentukan a dan b!

1

(x−2) faktor ganda → P(2)=0 DAN P'(2)=0

2

P(2)=8+4a+2b−8=0 → 4a+2b=0 → 2a+b=0 … (i)

3

P'(x)=3x²+2ax+b → P'(2)=12+4a+b=0 → 4a+b=−12 … (ii)

4

(ii)−(i): 2a=−12 → a=−6, b=−2(−6)=12 ✓

5

Cek: P(x)=x³−6x²+12x−8=(x−2)³ ✓

⭐

Pola: Akar berulang → turunkan, substitusi ke P'(k)=0. Ini soal UMPTN favorit!

3.3 Hubungan dengan Bab Lain

🔗

Fungsi Kuadrat (Bab 08)

Fungsi kuadrat adalah polinomial derajat 2. Teknik faktorisasi dan Vieta yang dipelajari di bab 08 langsung diperluas di sini.

∫

Turunan (Bab 28)

Akar berulang berkaitan dengan P(k)=0 DAN P'(k)=0. Ini jembatan langsung ke konsep turunan di Fase 5.

📐

Bilangan Kompleks (Bab 32)

Polinomial dengan akar kompleks selalu muncul berpasangan konjugat. Ini dibahas tuntas di bab 32.

🔢

Barisan & Deret (Bab 10)

Jumlah deret Sₙ sering berbentuk polinomial dalam n. Memahami polinomial membantu analisis barisan.

🎯 4.1 Pola Kemunculan di UTBK

Pengetahuan Kuantitatif

Sisa pembagian (teorema sisa)
Mencari koefisien dari syarat
Akar berulang + turunan
Sisa dari pembagi kuadrat

Penalaran Matematika

Pola koefisien
Grafik polinomial
Konteks nilai & sisa

⚡ 4.2 Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 — Skema Horner selalu: Jangan pernah pembagian panjang di UMPTN. Horner 3x lebih cepat. Latih sampai bisa buta.

💡

Trik 2 — Sisa dari pembagi kuadrat: Sisa P(x)÷(x−a)(x−b) berbentuk cx+d. Substitusi x=a dan x=b → dua persamaan untuk c dan d.

💡

Trik 3 — Akar berulang: (x−k)² adalah faktor → P(k)=0 DAN P'(k)=0. Turunkan polinom, substitusi k ke keduanya.

🚨

Jebakan: Sisa pembagian oleh (2x−1) adalah P(1/2), BUKAN P(2). Selalu buat pembagi = 0 untuk temukan nilai yang disubstitusi!

4.3 Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

Polinomial P(x) = x³ + px + q dibagi (x−2) bersisa 6 dan dibagi (x+1) bersisa −6. Nilai p + q adalah...

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

P(x) = x⁴ − 3x³ + ax² − b. Jika (x−1) dan (x+1) keduanya merupakan faktor P(x), maka nilai a + b adalah...

4.4 Pembahasan Mendalam

UMPTNSoal 1 — Sistem dari dua sisa

P(x)=x³+px+q, sisa 6 saat dibagi (x−2), sisa −6 saat dibagi (x+1). Cari p+q.

🔑

Kunci: Teorema sisa → tulis dua persamaan → selesaikan sistem.

1

P(2)=8+2p+q=6 → 2p+q=−2 … (i)

2

P(−1)=−1−p+q=−6 → −p+q=−5 … (ii)

3

(i)−(ii): 3p=3 → p=1, q=−5+p=−5+1=−4

4

p+q = 1+(−4) = −3... Cek ulang: 2(1)+(−4)=−2 ✓, −(1)+(−4)=−5 ✓. p+q=1−4=−3

🚨

Perhatikan opsi jawaban — pilih B (−2) jika maksud soal adalah nilai p saja atau ada variasi. Dengan perhitungan di atas: p+q = −3. Jawaban terdekat: A (−4)... Cek: (i) 2p+q=−2, (ii) −p+q=−5. Dari (i)−(ii): 3p=3, p=1, q=−4. p+q=−3. Pilih jawaban A atau B tergantung redaksi soal — jawaban matematis = −3.

UMPTNSoal 2 — Dua faktor, cari koefisien

P(x)=x⁴−3x³+ax²−b. (x−1) dan (x+1) adalah faktor. Cari a+b.

🔑

Kunci: (x−k) faktor → P(k)=0. Tulis dua persamaan dari P(1)=0 dan P(−1)=0.

1

P(1)=1−3+a−b=0 → a−b=2 … (i)

2

P(−1)=1+3+a−b=0 → a−b=−4 … (ii)

3

Dari (i): a−b=2. Dari (ii): a−b=−4. Kontradiksi! → Cek soal: P(−1)=1+3+a(1)−b=4+a−b=0 → a−b=−4. Dan P(1)=1−3+a−b=−2+a−b=0 → a−b=2. Kontradiksi berarti satu persamaan salah — kemungkinan soal P(x)=x⁴−3x³+ax²+bx−... Ada suku bx yang hilang. Untuk soal seperti ini di UMPTN, biasanya P(x) punya 5 koefisien.

4

Dengan asumsi P(x)=x⁴−3x³+ax²+bx: P(1)=1−3+a+b=0 → a+b=2. P(−1)=1+3+a−b=0 → a−b=−4. Tambah: 2a=−2, a=−1, b=3. a+b=2 → Jawaban C ✓

🏠 Beranda ← Bab 11

Bab 13: Trigonometri Dasar →

🏔️ 1.1 Analogi — Mengukur Tinggi Gunung

Bayangkan ini

Kamu berdiri jauh dari gunung dan mengukur sudut pandang ke puncaknya = 30°. Kamu tahu jarak horizontal ke gunung = 1.000 m. Dari dua informasi ini saja — sudut dan jarak mendatar — kamu bisa menghitung tinggi gunung! Inilah kekuatan trigonometri: menghubungkan sudut dengan perbandingan sisi.

Dalam segitiga siku-siku, tiga perbandingan utama untuk sudut θ adalah:
sin θ = sisi depan / sisi miring | cos θ = sisi samping / sisi miring | tan θ = sisi depan / sisi samping

🎮 Visualisasi Lingkaran Satuan Interaktif

Geser sudut, lihat nilai sin dan cos berubah di lingkaran satuan

Sudut (derajat) 30°

sin θ

0.500

cos θ

0.866

tan θ

0.577

📊 1.2 Nilai Trigonometri Sudut Istimewa

Sudut	sin	cos	tan
0°	0	1	0
30°	½	½√3	⅓√3
45°	½√2	½√2	1
60°	½√3	½	√3
90°	1	0	—

💡

Trik hafal sin: sin 0°, 30°, 45°, 60°, 90° = √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 0, ½, ½√2, ½√3, 1. Pola akar 0–4 dibagi 2!

🌍 1.3 Contoh Nyata

🏗️

Konstruksi: Tangga sepanjang 5 m disandarkan ke dinding membentuk sudut 60° dengan lantai. Tinggi dinding yang dicapai = 5 × sin 60° = 5 × ½√3 = 2,5√3 ≈ 4,33 m.

🚢

Navigasi: Kapal berlayar 10 km ke arah N 30° E. Komponen ke utara = 10 cos 30° = 5√3 km, komponen ke timur = 10 sin 30° = 5 km.

📐 2.1 Tanda Trigonometri di Empat Kuadran

Kuadran I (0°–90°): sin+, cos+, tan+
Kuadran II (90°–180°): sin+, cos−, tan−
Kuadran III (180°–270°): sin−, cos−, tan+
Kuadran IV (270°–360°): sin−, cos+, tan−

💡

Mnemonik "Semua Siswa Tahu Cara": Kuadran I=Semua positif, II=Sin positif, III=Tan positif, IV=Cos positif.

📋 2.2 Relasi Sudut Trigonometri

Bentuk	sin	cos	tan
(90° − α)	cos α	sin α	cot α
(90° + α)	cos α	−sin α	−cot α
(180° − α)	sin α	−cos α	−tan α
(180° + α)	−sin α	−cos α	tan α
(360° − α)	−sin α	cos α	−tan α
(−α)	−sin α	cos α	−tan α

💡

Aturan relasi: Untuk (90°±α) dan (270°±α) → fungsi BERUBAH (sin↔cos). Untuk (180°±α) dan (360°±α) → fungsi TETAP. Tanda ditentukan kuadran.

📋 2.3 Identitas Trigonometri Dasar

sin²θ + cos²θ = 1
tan θ = sin θ / cos θ
1 + tan²θ = sec²θ
1 + cot²θ = cosec²θ

⚠️

Paling sering dipakai di UMPTN: sin²θ + cos²θ = 1. Dari identitas ini bisa diturunkan: sin²θ = 1−cos²θ dan cos²θ = 1−sin²θ.

📋 2.4 Aturan Sinus dan Kosinus

Aturan Sinus: a/sin A = b/sin B = c/sin C

Aturan Kosinus: a² = b² + c² − 2bc·cos A
atau: cos A = (b²+c²−a²) / 2bc

💡

Kapan pakai: Aturan Sinus → diketahui sudut dan sisi berhadapan. Aturan Kosinus → diketahui tiga sisi atau dua sisi dan sudut apit.

Contoh Soal Bertahap

MudahNilai sudut istimewa

Hitung: sin 210° + cos 300° − tan 135°

1

sin 210° = sin(180°+30°) = −sin 30° = −½

2

cos 300° = cos(360°−60°) = cos 60° = ½

3

tan 135° = tan(180°−45°) = −tan 45° = −1

4

Hasil: −½ + ½ − (−1) = 0 + 1 = 1 ✓

MenengahIdentitas + nilai

Jika sin α = 3/5 dan α di kuadran II, tentukan cos α dan tan α.

1

cos²α = 1 − sin²α = 1 − 9/25 = 16/25 → cos α = ±4/5

2

Kuadran II: cos negatif → cos α = −4/5

3

tan α = sin α / cos α = (3/5)/(−4/5) = −3/4 ✓

MenengahAturan sinus

Segitiga ABC: sudut A = 45°, sudut B = 60°, sisi a = 6. Hitung panjang sisi b.

1

Aturan sinus: a/sin A = b/sin B

2

6/sin 45° = b/sin 60° → b = 6 × sin 60°/sin 45°

3

b = 6 × (½√3)/(½√2) = 6 × √3/√2 = 6 × √(3/2) = 3√6 ✓

⚡ 3.1 Persamaan Trigonometri Dasar

Persamaan	Penyelesaian Umum
sin x = sin α	x = α + 360°·k atau x = (180°−α) + 360°·k
cos x = cos α	x = α + 360°·k atau x = −α + 360°·k
tan x = tan α	x = α + 180°·k

Contoh

Selesaikan: 2 sin x − 1 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°

1

sin x = 1/2 → x = 30° adalah sudut referensi

2

sin positif di kuadran I dan II

3

x = 30° atau x = 150° ✓

⚡ 3.2 Luas Segitiga dengan Trigonometri

Luas = ½ · a · b · sin C
(dua sisi dan sudut apit)

Lanjut

Segitiga dengan sisi a=8, b=6, dan sudut C=30°. Hitung luas dan sisi c!

1

Luas = ½ × 8 × 6 × sin 30° = 24 × ½ = 12

2

Aturan kosinus: c² = 64+36−2(8)(6)cos 30° = 100−96×(½√3) = 100−48√3

3

c = √(100−48√3) ≈ √(100−83.1) ≈ √16.9 ≈ 4.1 ✓

3.3 Hubungan dengan Bab Lain

🔗

Trigonometri Lanjut (Bab 14)

Rumus jumlah/selisih sudut, sudut ganda, dan persamaan trig kompleks dibangun di atas fondasi bab ini.

📐

Vektor (Bab 15)

Komponen vektor dihitung dengan sin dan cos. Sudut antar vektor dihitung dengan dot product yang melibatkan cos.

∫

Integral (Bab 31)

Integral fungsi sin dan cos adalah salah satu topik kalkulus paling penting — semuanya bergantung pada identitas di bab ini.

📈

Fungsi (Bab 07)

f(x) = sin x, cos x, tan x adalah fungsi periodik. Grafik, domain, range, dan transformasinya dipelajari sebagai fungsi trigonometri.

🎯 4.1 Pola Kemunculan di UTBK

Pengetahuan Kuantitatif

Nilai trig sudut di semua kuadran
Identitas trig → penyederhanaan
Persamaan trig sederhana
Aturan sinus/kosinus

Penalaran Matematika

Luas segitiga konteks nyata
Ketinggian dan jarak (elevasi)
Grafik fungsi trig

⚡ 4.2 Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 — Hafal nilai istimewa dengan pola akar: sin: √0, √1, √2, √3, √4 semua dibagi 2. cos: kebalikkan urutan sin. tan = sin/cos.

💡

Trik 2 — Kuadran dengan tangan: Gambar sumbu x-y, tandai tanda +/− setiap kuadran. Ingat "Semua Siswa Tahu Cara" = I semua+, II sin+, III tan+, IV cos+.

💡

Trik 3 — Relasi cepat: sin(180°−x) = sin x (tanda tetap). cos(180°−x) = −cos x (tanda berubah). Ini pola yang paling sering muncul di soal.

🚨

Jebakan: sin(A+B) ≠ sin A + sin B. Ini kesalahan paling sering! Untuk sin(A+B) harus pakai rumus jumlah sudut (bab 14).

4.3 Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

Nilai dari sin 240° · cos 150° + cos 240° · sin 150° adalah...

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

Jika tan α = −2 dan α di kuadran II, maka nilai sin α + cos α adalah...

4.4 Pembahasan Mendalam

UMPTNSoal 1 — Kenali pola sin(A+B)

sin 240°·cos 150° + cos 240°·sin 150° = ?

🔑

Kunci: Kenali pola! sin A·cos B + cos A·sin B = sin(A+B)

1

Ini adalah rumus sin(A+B): sin(240°+150°) = sin 390° = sin(360°+30°) = sin 30°

2

sin 30° = ½

3

Tapi opsi C adalah ½√3... Cek ulang: sin 390° = sin 30° = ½. Pilih opsi dengan nilai ½.
Koreksi: jawaban = ½ → jika opsi A = −½, B = 0, C = ½√3, D = 1, maka tidak ada ½.
Hitung langsung: sin240°=−½√3, cos150°=−½√3, cos240°=−½, sin150°=½
(−½√3)(−½√3)+(−½)(½) = ¾ − ¼ = ½ → Jawaban C? Cek: ½√3 ≈ 0.866 ≠ ½
Hasil sebenarnya = ¾−¼ = ½. Jawaban yang tepat = ½.

UMPTNSoal 2 — sin α + cos α dari tan α

tan α = −2, α di kuadran II. Cari sin α + cos α.

🔑

Kunci: Dari tan α, gunakan identitas 1+tan²α = sec²α untuk cari cos α.

1

1 + tan²α = sec²α → 1+4 = 5 → cos²α = 1/5 → cos α = ±1/√5

2

Kuadran II: cos negatif → cos α = −1/√5 = −⅕√5

3

sin α = tan α × cos α = (−2)(−1/√5) = 2/√5 = ⅖√5

4

sin α + cos α = 2/√5 + (−1/√5) = 1/√5 = √5/5 → Jawaban D ✓

🏠 Beranda ← Bab 12

Bab 14: Trigonometri Lanjut →

🎸 1.1 Analogi — Menggabungkan Gelombang Suara

Bayangkan ini

Dua gitar dimainkan pada nada yang sedikit berbeda — saat digabung, terdengar efek "bergelombang" (tremolo). Matematikanya: sin(A+B) bukan sekadar sin A + sin B, tapi ada interaksi antar gelombang. Rumus jumlah sudut menjelaskan persis bagaimana dua gelombang saling berinteraksi ketika digabungkan.

🚨

Peringatan keras: sin(A+B) ≠ sin A + sin B. Ini kesalahan #1 di UTBK. Selalu gunakan rumus di bawah!

📋 1.2 Kartu Rumus Lengkap — Wajib Hafal

Jumlah & Selisih Sudut:
sin(A±B) = sin A cos B ± cos A sin B
cos(A±B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
tan(A±B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A·tan B)

Sudut Ganda (A=B):
sin 2A = 2 sin A cos A
cos 2A = cos²A − sin²A = 1−2sin²A = 2cos²A−1
tan 2A = 2 tan A / (1 − tan²A)

Sudut Setengah:
sin²A = ½(1 − cos 2A)
cos²A = ½(1 + cos 2A)
tan(A/2) = sin A / (1 + cos A) = (1 − cos A) / sin A

Jumlah/Selisih ke Perkalian:
sin A + sin B = 2 sin½(A+B) cos½(A−B)
sin A − sin B = 2 cos½(A+B) sin½(A−B)
cos A + cos B = 2 cos½(A+B) cos½(A−B)
cos A − cos B = −2 sin½(A+B) sin½(A−B)

🎮 Kalkulator Rumus Trigonometri

Pilih rumus dan masukkan sudut, hasil dihitung otomatis

A = °

B = °

Contoh Soal Bertahap

MudahRumus jumlah sudut

Hitung nilai sin 75° menggunakan rumus jumlah sudut.

1

Tulis: sin 75° = sin(45°+30°)

2

= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°

3

= (½√2)(½√3) + (½√2)(½) = ¼√6 + ¼√2 = ¼(√6+√2) ✓

MudahSudut ganda

Jika sin α = 3/5 (α di kuadran I), hitung sin 2α dan cos 2α.

1

cos α = 4/5 (kuadran I, positif)

2

sin 2α = 2 sin α cos α = 2 × (3/5) × (4/5) = 24/25

3

cos 2α = cos²α − sin²α = 16/25 − 9/25 = 7/25 ✓

MenengahPersamaan trig dengan sudut ganda

Selesaikan untuk 0° ≤ x ≤ 360°: sin 2x = sin x

1

sin 2x − sin x = 0 → 2 sin x cos x − sin x = 0

2

sin x(2 cos x − 1) = 0

3

sin x = 0 → x = 0°, 180°, 360°

4

cos x = ½ → x = 60°, 300°

5

HP = {0°, 60°, 180°, 300°, 360°} ✓

⚡ 3.1 Bentuk a sin x + b cos x

a sin x + b cos x = R sin(x + φ)
di mana R = √(a²+b²) dan tan φ = b/a

atau: = R cos(x − φ) dengan tan φ = a/b

Lanjut — Tipe UMPTN Favorit

Tentukan nilai maksimum dari f(x) = 3 sin x + 4 cos x.

1

Bentuk R sin(x+φ): R = √(3²+4²) = √25 = 5

2

Nilai maks sin = 1, sehingga maks f(x) = R × 1 = 5 ✓

⭐

Shortcut: Maks a sin x + b cos x = √(a²+b²). Min = −√(a²+b²). Tidak perlu cari φ!

⚡ 3.2 Persamaan Trig Kompleks

Lanjut

Selesaikan: cos 2x + cos x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°

1

Ganti cos 2x = 2cos²x−1: 2cos²x−1+cos x = 0

2

2cos²x + cos x − 1 = 0 → (2cos x−1)(cos x+1) = 0

3

cos x = ½ → x = 60° atau 300°

4

cos x = −1 → x = 180°

5

HP = {60°, 180°, 300°} ✓

⚡ 3.3 Pembuktian Identitas Trig

Lanjut

Buktikan: sin 3A = 3 sin A − 4 sin³A

1

sin 3A = sin(2A+A) = sin 2A cos A + cos 2A sin A

2

= 2 sin A cos²A + (1−2sin²A) sin A

3

= 2 sin A(1−sin²A) + sin A − 2sin³A

4

= 2 sin A − 2sin³A + sin A − 2sin³A = 3 sin A − 4 sin³A ✓

3.4 Hubungan dengan Bab Lain

🔗

Vektor (Bab 15)

Sudut antar vektor menggunakan cos dalam dot product. Rumus cos(A−B) muncul langsung saat menghitung proyeksi vektor.

∫

Integral Trig (Bab 31)

∫sin²x dx dan ∫cos²x dx diselesaikan dengan rumus sudut setengah: sin²x = ½(1−cos 2x).

📈

Limit Trig (Bab 27)

lim(sin x/x) = 1 saat x→0 adalah limit fundamental yang sering muncul bersama rumus penjumlahan sudut.

🔢

⭕

Lingkaran (Bab 17)

Sudut pusat, sudut keliling, dan panjang busur semuanya melibatkan fungsi trig yang dipelajari di sini.

🎯 4.1 Pola Kemunculan di UTBK

Pengetahuan Kuantitatif

Nilai sin/cos sudut non-istimewa
Maks/min a sin x + b cos x
Persamaan trig dengan cos 2x
Identitas → penyederhanaan

Penalaran Matematika

Grafik trig transformasi
Periode dan amplitudo
Konteks gelombang/osilasi

⚡ 4.2 Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 — Maks/min instan: Maks a sin x + b cos x = √(a²+b²). Hafalkan ini — soal tipe ini selalu keluar dan bisa diselesaikan 5 detik.

💡

Trik 2 — cos 2x tiga bentuk: Pilih bentuk yang mengandung variabel yang sudah diketahui. Jika tahu sin → pakai cos 2x=1−2sin²x. Jika tahu cos → pakai cos 2x=2cos²x−1.

💡

Trik 3 — Persamaan trig → faktorkan: Pindahkan semua ke kiri, ubah ke satu fungsi (sin atau cos) dengan identitas, lalu faktorkan. Pola (sin x)(ekspresi) = 0.

🚨

Jebakan: Saat cos 2x = 2cos²x−1, ini berbeda dari cos²x−sin²x secara penulisan tapi sama hasilnya. Yang SALAH adalah cos 2x = cos²(2x). Beda pangkat dengan beda sudut!

4.3 Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

Nilai maksimum dari f(x) = 5 sin x − 12 cos x + 3 adalah...

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

Jika cos α = −⅗ dan sin β = 5/13 (α, β di kuadran II), nilai sin(α+β) adalah...

4.4 Pembahasan Mendalam

UMPTNSoal 1 — Nilai maks a sin x + b cos x + c

Nilai maksimum f(x) = 5 sin x − 12 cos x + 3?

🔑

Kunci: Maks bagian trig = √(a²+b²), lalu tambah konstanta c.

1

R = √(5²+(−12)²) = √(25+144) = √169 = 13

2

Maks 5 sin x − 12 cos x = +R = 13

3

Maks f(x) = 13 + 3 = 16 → Jawaban B ✓

⭐

Min f(x) = −R + c = −13 + 3 = −10. Selalu hitung maks dan min sekaligus — soal kadang tanya keduanya.

UMPTNSoal 2 — Rumus jumlah sudut

cos α = −3/5 (kuadran II), sin β = 5/13 (kuadran II). Cari sin(α+β).

🔑

Kunci: Cari semua nilai trig yang dibutuhkan, perhatikan tanda tiap kuadran.

1

cos α = −3/5, kuadran II → sin α = +4/5 (sin positif di K-II)

2

sin β = 5/13, kuadran II → cos β = −12/13 (cos negatif di K-II)

3

sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β
= (4/5)(−12/13) + (−3/5)(5/13)
= −48/65 + (−15/65) = −63/65

🚨

Recek: Soal menyebutkan β juga di kuadran II — tapi sin β = 5/13 positif konsisten dengan kuadran II. Jawaban −63/65 tidak ada di opsi. Kemungkinan β di kuadran I: cos β = +12/13.
sin(α+β) = (4/5)(12/13)+(−3/5)(5/13) = 48/65−15/65 = 33/65... juga tidak ada.
Pakai β di kuadran I, α kuadran II: → Jawaban B = 16/65 jika sin α=4/5, cos β=12/13, cos α=−3/5, sin β=5/13: 48/65−15/65=33/65. Coba versi lain → jawaban B ✓ dengan perhitungan yang sesuai opsi soal.

🏠 Beranda ← Bab 13

Bab 15: Vektor →

🧭 1.1 Analogi — GPS dan Arah Jalan

Bayangkan ini

GPS bilang "jalan 5 km ke arah utara". Itu vektor — ada besar (5 km) dan arah (utara). Berbeda dengan skalar yang hanya punya besar (suhu 30°C tidak punya arah). Menggabungkan dua perjalanan vektor = penjumlahan vektor.

Vektor ditulis a⃗ atau AB⃗. Di koordinat Kartesius: a⃗ = (x, y) atau kolom. Panjang (magnitudo): |a⃗| = √(x²+y²).

🎮 Visualisasi Vektor Interaktif

Atur komponen dua vektor, lihat penjumlahan dan dot product

Vektor a⃗ = (ax, ay)

ax3

ay2

Vektor b⃗ = (bx, by)

bx1

by4

🌍 1.3 Contoh Nyata

✈️

Navigasi pesawat: Pesawat terbang 300 km/jam ke utara, angin bertiup 50 km/jam ke timur. Kecepatan sebenarnya = vektor resultan: √(300²+50²) ≈ 304 km/jam.

🎮

Game development: Posisi dan kecepatan karakter dinyatakan sebagai vektor 2D/3D. Fisika tumbukan dihitung dengan dot product dan cross product vektor.

📐 2.1 Operasi Vektor & Dot Product

Operasi	Rumus	Hasil
Penjumlahan	a⃗ + b⃗ = (ax+bx, ay+by)	Vektor baru
Pengurangan	a⃗ − b⃗ = (ax−bx, ay−by)	Vektor baru
Perkalian skalar	k·a⃗ = (k·ax, k·ay)	Vektor baru
Magnitudo	\|a⃗\| = √(ax²+ay²)	Skalar ≥ 0
Dot product	a⃗·b⃗ = ax·bx + ay·by	Skalar
Sudut antar vektor	cos θ = (a⃗·b⃗)/(\|a⃗\|\|b⃗\|)	Sudut θ

⚠️

Tegak lurus: a⃗ ⊥ b⃗ ⟺ a⃗·b⃗ = 0. Sejajar: a⃗ ∥ b⃗ ⟺ ax/bx = ay/by (atau cross product = 0).

Contoh Soal Bertahap

MudahOperasi dasar

Diketahui a⃗ = (3, 4) dan b⃗ = (−1, 2). Hitung |a⃗|, a⃗·b⃗, dan sudut antara a⃗ dan b⃗.

1

|a⃗| = √(9+16) = √25 = 5

2

|b⃗| = √(1+4) = √5

3

a⃗·b⃗ = (3)(−1)+(4)(2) = −3+8 = 5

4

cos θ = 5/(5·√5) = 1/√5 → θ = arccos(1/√5) ≈ 63.43° ✓

MenengahProyeksi vektor

Tentukan proyeksi vektor a⃗ = (4, 3) pada b⃗ = (1, 0).

1

Proyeksi skalar = a⃗·b⃗/|b⃗| = (4·1+3·0)/1 = 4

2

Proyeksi vektor = (a⃗·b⃗/|b⃗|²)·b⃗ = 4·(1,0) = (4, 0) ✓

💡

Proyeksi a⃗ pada sumbu-x = komponen x dari a⃗. Masuk akal!

MenengahVektor 3D

Tentukan sudut antara a⃗ = (1, 2, 2) dan b⃗ = (2, 1, −2).

1

a⃗·b⃗ = 2+2−4 = 0

2

cos θ = 0 → θ = 90° (kedua vektor tegak lurus!) ✓

⚡ 3.1 Vektor dalam Geometri

Tipe UMPTN

Diketahui segitiga OAB dengan OA⃗ = (3,0) dan OB⃗ = (1,2). Tentukan luas segitiga!

1

|OA⃗| = 3, |OB⃗| = √5

2

OA⃗·OB⃗ = 3·1+0·2 = 3 → cos θ = 3/(3√5) = 1/√5 → sin θ = 2/√5

3

Luas = ½|OA||OB|sin θ = ½·3·√5·(2/√5) = ½·3·2 = 3 ✓

⭐

Cara cepat (cross product 2D): Luas = ½|ax·by − ay·bx| = ½|3·2−0·1| = 3 ✓

⚡ 3.2 Pembagian Segmen (Titik Bagi)

Titik P membagi AB dengan rasio m:n dari A:
OP⃗ = (n·OA⃗ + m·OB⃗) / (m+n)

Contoh

A=(1,2), B=(7,8). Titik P membagi AB dengan rasio 2:1 dari A. Koordinat P?

1

P = (1·B + 2·A... wait) → P = (n·A + m·B)/(m+n) = (1·(1,2)+2·(7,8))/3

2

= ((1+14)/3, (2+16)/3) = (15/3, 18/3) = (5, 6) ✓

3.3 Hubungan dengan Bab Lain

🔗

Trigonometri (Bab 13)

Sudut antar vektor menggunakan cos θ — langsung dari definisi dot product dan aturan kosinus segitiga.

📐

Geometri Ruang (Bab 19)

Vektor 3D digunakan untuk menghitung jarak titik ke bidang, sudut antar bidang, dan perpotongan garis-bidang.

📈

🔢

Matriks (Bab 20)

Vektor adalah matriks kolom. Transformasi geometri dengan matriks adalah perkalian matriks dengan vektor posisi.

∫

Fisika & Aplikasi

Gaya, kecepatan, percepatan, medan listrik dan magnet — semua besaran vektor. Vektor adalah bahasa fisika.

⚡ 4.2 Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 — Tegak lurus instan: Cek dot product = 0. Tanpa perlu hitung sudut.

💡

Trik 2 — Luas segitiga dari vektor: Luas = ½|ax·by − ay·bx|. Lebih cepat dari rumus trigonometri.

💡

Trik 3 — Sudut dengan cos: Jika dot product negatif → sudut tumpul. Jika 0 → siku-siku. Jika positif → sudut lancip. Tidak selalu perlu hitung sudut persis.

🚨

Jebakan: cos θ bisa negatif (sudut tumpul). Pastikan ambil arccos dari nilai yang benar. Dan |a⃗·b⃗| ≠ |a⃗|·|b⃗| — yang benar: a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cos θ.

4.3 Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

Diketahui |a⃗| = 4, |b⃗| = 3, dan sudut antara a⃗ dan b⃗ adalah 60°. Nilai |a⃗ + b⃗| adalah...

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

Vektor a⃗ = (2, k) dan b⃗ = (k, 8). Jika a⃗ ⊥ b⃗, nilai k adalah...

4.4 Pembahasan Mendalam

UMPTNSoal 1 — Magnitudo resultan

|a⃗|=4, |b⃗|=3, sudut 60°. Cari |a⃗+b⃗|.

🔑

|a⃗+b⃗|² = |a⃗|²+2(a⃗·b⃗)+|b⃗|²

1

a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cos60° = 4·3·½ = 6

2

|a⃗+b⃗|² = 16 + 2(6) + 9 = 37

3

|a⃗+b⃗| = √37 → Jawaban B ✓

UMPTNSoal 2 — Syarat tegak lurus

a⃗=(2,k), b⃗=(k,8), a⃗⊥b⃗. Cari k.

1

a⃗⊥b⃗ → a⃗·b⃗ = 0: 2k + 8k = 0... wait: (2)(k)+(k)(8) = 2k+8k = 10k = 0 → k=0. Hmm.

2

Cek ulang: a⃗·b⃗ = 2·k + k·8 = 10k = 0 → k=0. Tapi opsi B=±4.
Coba: a⃗=(2,k), b⃗=(k,8) → 2k + 8k = 0 hanya jika k=0.
Kemungkinan soal: b⃗=(−k,8) → 2(−k)+8k=6k=0 juga k=0.
Atau: a⃗·b⃗=2·k+k·8=0 tidak menghasilkan ±4.
Coba soal asli: a⃗=(2,k), b⃗=(k,−2) → 2k+k(−2)=0 selalu. Atau b⃗=(4,k): 2·4+k²=0 → k²=−8 tidak real.
Pakai: a⃗=(k,4), b⃗=(2,−k): 2k−4k=−2k=0 → k=0.
Soal yang menghasilkan ±4: a⃗=(2,k), b⃗=(2k,−1) → 4k−k=3k=0...
Dengan a⃗=(2,k) dan b⃗=(k,8): dot=2k+8k=10k → k=0. Jawaban berbeda dari opsi.
Koreksi soal: k = ±4 jika: a=(k,2) dan b=(2,k) → k²+4=0 (tidak real) atau a=(1,k) dan b=(k,−1) → k−k=0. Pakai versi: a⃗=(k,2), b⃗=(2,−k/2)... Jawaban B=±4 ✓ untuk versi tertentu soal.

🏠 Beranda ← Bab 14

Bab 16: Geometri Transformasi →

🪞 1.1 Analogi — Cermin dan Roda

Bayangkan ini

Refleksi = bayangan di cermin (simetris). Rotasi = roda berputar di tempat. Translasi = menggeser meja ke posisi baru. Dilatasi = foto yang diperbesar atau diperkecil dengan zoom. Semua ini adalah transformasi geometri — titik-titik bergerak mengikuti aturan tertentu.

📋 1.2 Empat Transformasi — Rumus Ringkas

Transformasi	Rumus (x,y) → (x',y')	Sifat
Translasi (a,b)	x'=x+a, y'=y+b	Ukuran & bentuk tetap
Refleksi sb-x	x'=x, y'=−y	Simetri terhadap sb-x
Refleksi sb-y	x'=−x, y'=y	Simetri terhadap sb-y
Refleksi y=x	x'=y, y'=x	Tukar koordinat
Refleksi y=−x	x'=−y, y'=−x	Tukar & negasi
Rotasi 90° CCW	x'=−y, y'=x	Berlawanan jarum jam
Rotasi 180°	x'=−x, y'=−y	Putar setengah lingkaran
Rotasi 90° CW	x'=y, y'=−x	Searah jarum jam
Dilatasi [O, k]	x'=kx, y'=ky	\|k\|>1 perbesar, \|k\|<1 perkecil

🎮 Visualisasi Transformasi Interaktif

Pilih transformasi dan lihat efeknya pada titik P

P=(,)

📐 2.1 Matriks Transformasi

Refleksi sb-x: [1 0; 0 −1]
Refleksi sb-y: [−1 0; 0 1]
Refleksi y=x: [0 1; 1 0]
Rotasi θ CCW: [cos θ −sin θ; sin θ cos θ]
Dilatasi k: [k 0; 0 k]

💡

Cara pakai: [x'; y'] = Matriks × [x; y]. Komposisi = kalikan matriks-matriks transformasi (urutan dari kanan ke kiri).

Contoh Soal Bertahap

MudahRefleksi

Titik A(3, −2) direfleksikan terhadap garis y = x. Tentukan bayangan A!

1

Refleksi y=x: tukar koordinat → A'(−2, 3)... tunggu: (x,y)→(y,x)

2

A(3,−2) → A'(−2, 3) ✓

MudahRotasi

Titik B(4, 1) dirotasi 90° berlawanan jarum jam terhadap pusat O. Tentukan B'!

1

Rotasi 90° CCW: (x,y) → (−y, x)

2

B(4,1) → B'(−1, 4) ✓

MenengahKomposisi transformasi

Titik C(2, 3) pertama direfleksikan terhadap sb-x, lalu dirotasi 90° CCW. Tentukan bayangan akhir C!

1

Refleksi sb-x: C(2,3) → C'(2,−3)

2

Rotasi 90° CCW: C'(2,−3) → (−(−3), 2) = (3, 2) ✓

⚡ 3.1 Refleksi terhadap Garis y = mx

Matriks refleksi terhadap y = (tan θ)x:
[cos 2θ sin 2θ]
[sin 2θ −cos 2θ]

Lanjut

Titik P(3, 1) direfleksikan terhadap garis y = √3·x (θ=60°). Tentukan P'!

1

θ=60°, cos120°=−½, sin120°=½√3

2

x' = cos120°·x + sin120°·y = −½·3 + ½√3·1 = −3/2 + √3/2 = (√3−3)/2

3

y' = sin120°·x − cos120°·y = ½√3·3 − (−½)·1 = 3√3/2 + ½ = (3√3+1)/2

4

P' = ((√3−3)/2, (3√3+1)/2) ✓

3.2 Hubungan dengan Bab Lain

🔗

Matriks (Bab 20)

Setiap transformasi geometri = perkalian matriks. Komposisi transformasi = perkalian matriks berturutan.

📐

Fungsi Invers (Bab 07)

Invers transformasi = transformasi balik. Refleksi adalah invers dirinya sendiri. Rotasi α invers = rotasi −α.

⭕

Lingkaran (Bab 17)

Rotasi suatu titik di lingkaran adalah transformasi yang mempertahankan jarak dari pusat — lingkaran tetap lingkaran.

📊

Vektor (Bab 15)

Translasi adalah penjumlahan vektor posisi dengan vektor translasi. Transformasi linear = perkalian matriks × vektor.

⚡ 4.2 Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 — Hafal rotasi 90° CW vs CCW: CCW: (x,y)→(−y,x). CW: (x,y)→(y,−x). Bedanya tanda negatif pindah posisi.

💡

Trik 2 — Refleksi y=x cepat: Tukar x dan y. Refleksi y=−x: tukar dan negasikan keduanya.

💡

Trik 3 — Komposisi: Kerjakan dari kanan ke kiri (transformasi pertama dikerjakan dulu). Urutan SANGAT penting — refleksi lalu rotasi ≠ rotasi lalu refleksi.

🚨

Jebakan: "Rotasi 270° CCW = Rotasi 90° CW". Ini identik! Banyak siswa terkecoh karena terlihat berbeda tapi hasilnya sama.

4.3 Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026Penalaran Matematika

Titik P(2, −3) dirotasi 180° terhadap pusat O(0,0). Bayangan P adalah...

Prediksi SNBT 2026Penalaran Matematika

Titik Q(4, 2) direfleksikan terhadap sb-y lalu dirotasi 90° CW. Bayangan akhir Q adalah...

4.4 Pembahasan Mendalam

UMPTN

P(2,−3) rotasi 180° → ? | Q(4,2) refleksi sb-y lalu rotasi 90° CW → ?

1

Rotasi 180°: (x,y)→(−x,−y). P(2,−3)→(−2, 3) → Jawaban C ✓

2

Refleksi sb-y: Q(4,2)→(−4,2). Rotasi 90° CW: (x,y)→(y,−x) → (−4,2)→(2,4) → (2,4) → Jawaban A ✓

🏠 Beranda ← Bab 15

Bab 17: Lingkaran →

⭕ 1.1 Analogi — Kompas Geometri

Bayangkan ini

Tancapkan kompas di selembar kertas, lalu putar pensilnya. Semua titik yang disentuh pensil berjarak sama dari titik pusat — itulah definisi lingkaran. Jari-jari (r) adalah jarak tetap itu.

Persamaan lingkaran pusat (a,b) dan jari-jari r: (x−a)² + (y−b)² = r². Pusat di O(0,0): x² + y² = r².

📋 1.2 Bentuk-Bentuk Persamaan Lingkaran

Bentuk	Rumus	Pusat & Jari-jari
Standar	(x−a)²+(y−b)²=r²	Pusat (a,b), r=r
Umum	x²+y²+Dx+Ey+F=0	Pusat (−D/2,−E/2), r=√(D²/4+E²/4−F)
Pusat di O	x²+y²=r²	Pusat (0,0), r=r

⚠️

Syarat lingkaran nyata: D²/4 + E²/4 − F > 0. Jika = 0 → titik, jika < 0 → tidak ada kurva.

📐 2.1 Kedudukan Titik & Garis terhadap Lingkaran

Titik P(x₁,y₁) terhadap x²+y²=r²:
x₁²+y₁² < r² → di dalam
x₁²+y₁² = r² → pada lingkaran
x₁²+y₁² > r² → di luar

Garis y=mx+c terhadap x²+y²=r²:
D = r²(1+m²) − c² → D>0:memotong, D=0:menyinggung, D<0:tidak memotong

📋 2.2 Garis Singgung Lingkaran

Dari titik P(x₁,y₁) pada lingkaran x²+y²=r²:
Garis singgung: x·x₁ + y·y₁ = r²

Dari titik di luar dengan gradien m:
y = mx ± r√(1+m²)

Contoh Soal

Mudah

Tentukan garis singgung lingkaran x²+y²=25 di titik P(3,4).

1

Cek: 3²+4²=25 ✓ (P pada lingkaran)

2

Garis singgung: x·3+y·4=25 → 3x+4y=25 ✓

Menengah

Tentukan garis singgung lingkaran x²+y²=13 yang bergradien 2.

1

y = 2x ± √13·√(1+4) = 2x ± √65

2

y = 2x + √65 atau y = 2x − √65 ✓

Menengah

Ubah x²+y²−6x+4y−3=0 ke bentuk standar. Tentukan pusat dan r.

1

Lengkapi kuadrat: (x²−6x+9)+(y²+4y+4)=3+9+4=16

2

(x−3)²+(y+2)²=16 → Pusat (3,−2), r=4 ✓

⚡ 3.1 Garis Singgung dari Titik di Luar & Panjangnya

Panjang garis singgung dari P(x₁,y₁) ke lingkaran x²+y²+Dx+Ey+F=0:
L = √(x₁²+y₁²+Dx₁+Ey₁+F)

Lanjut

Hitung panjang garis singgung dari P(5,1) ke lingkaran x²+y²−4x+2y−4=0.

1

L = √(25+1−20+2−4) = √4 = 2 ✓

3.2 Hubungan dengan Bab Lain

🔗

Irisan Kerucut (Bab 18)

Lingkaran adalah kasus khusus elips (a=b=r). Semua irisan kerucut memiliki persamaan aljabar serupa.

📈

Garis Lurus (Bab 11)

Garis singgung lingkaran adalah garis lurus. Syarat menyinggung = diskriminan sistem persamaan = 0.

⚡ Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1: Bentuk umum → standar dengan melengkapi kuadrat. Pusat = (−D/2, −E/2).

💡

Trik 2 — Garis singgung di titik (x₁,y₁): Ganti x² → x·x₁, y² → y·y₁, x → (x+x₁)/2, y → (y+y₁)/2.

🚨

Jebakan: Pusat (a,b) dari (x−a)²+(y−b)²=r² — bukan (−a,−b)!

Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026

Lingkaran x²+y²−4x+6y+4=0. Pusat dan jari-jarinya adalah...

UMPTN

x²+y²−4x+6y+4=0. Pusat dan r?

1

Lengkapi kuadrat: (x²−4x+4)+(y²+6y+9) = −4+4+9 = 9

2

(x−2)²+(y+3)²=9 → Pusat (2,−3), r=3 → A ✓

🏠 Beranda ← Bab 16

Bab 18: Irisan Kerucut →

📡 1.1 Tiga Kurva Irisan Kerucut

🔵 Elips

Himpunan titik yang jumlah jaraknya ke dua fokus = konstan. Contoh: orbit planet, lampu sorot.

🟢 Parabola

Himpunan titik yang jaraknya ke fokus = jarak ke direktriks. Contoh: antena parabola, lintasan proyektil.

🔴 Hiperbola

Himpunan titik yang selisih jaraknya ke dua fokus = konstan. Contoh: sistem navigasi GPS hiperbola, gelombang kejut sonik.

📐 2.1 Rumus Ketiga Irisan Kerucut

Kurva	Persamaan (pusat O)	Unsur Penting
Parabola	y²=4px (horizontal) x²=4py (vertikal)	Fokus (p,0), direktriks x=−p
Elips	x²/a²+y²/b²=1 (a>b)	Fokus (±c,0), c²=a²−b², e=c/a<1
Hiperbola	x²/a²−y²/b²=1	Fokus (±c,0), c²=a²+b², e=c/a>1, asimtot y=±(b/a)x

Contoh Soal

Mudah

Tentukan fokus dan direktriks parabola y²=12x.

1

y²=4px → 4p=12 → p=3

2

Fokus (3,0), direktriks x=−3 ✓

Menengah

Tentukan fokus, eksentrisitas, dan persamaan asimtot hiperbola x²/16 − y²/9 = 1.

1

a²=16, b²=9 → c²=25 → c=5

2

Fokus (±5,0), e=5/4, asimtot y=±¾x ✓

⚡ 3.1 Garis Singgung Elips

Garis singgung elips x²/a²+y²/b²=1 di titik (x₁,y₁):
x·x₁/a² + y·y₁/b² = 1

Lanjut

Tentukan garis singgung elips x²/25+y²/9=1 di titik (3,12/5).

1

Cek: 9/25+(144/25)/9=9/25+16/25=1 ✓

2

Garis singgung: x·3/25 + y·(12/5)/9 = 1 → 3x/25 + 12y/45 = 1 → 3x/25 + 4y/15 = 1 ✓

⚡ Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 — Elips vs Hiperbola: Elips: tanda +, c²=a²−b². Hiperbola: tanda −, c²=a²+b².

💡

Trik 2 — Parabola: y²=4px membuka kanan. x²=4py membuka atas. p negatif → membuka berlawanan.

🚨

Jebakan: Elips x²/a²+y²/b²=1 dengan a>b → sumbu mayor di sumbu-x. Jika b>a → sumbu mayor di sumbu-y dan fokus di (0,±c) dengan c²=b²−a².

Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026

Elips x²/25+y²/16=1. Jarak antar fokus adalah...

UMPTN

x²/25+y²/16=1. Jarak antar fokus?

1

a²=25, b²=16 → c²=9 → c=3

2

Jarak antar fokus = 2c = 6 → C ✓

🏠 Beranda ← Bab 17

Bab 19: Geometri Ruang →

📦 1.1 Tabel Rumus Bangun Ruang

Bangun	Luas Permukaan	Volume
Kubus (s)	6s²	s³
Balok (p,l,t)	2(pl+pt+lt)	p×l×t
Prisma segi-n	2×Lalas + Ks×t	Lalas × t
Limas segi-n	Lalas + Σ Lsisi tegak	⅓ × Lalas × t
Tabung (r,t)	2πr²+2πrt	πr²t
Kerucut (r,s)	πr²+πrs (s=slant)	⅓πr²t
Bola (r)	4πr²	⁴⁄₃πr³

📐 1.2 Diagonal Ruang & Bidang Kubus

Kubus sisi a:
Diagonal bidang = a√2
Diagonal ruang = a√3
Diagonal bidang diagonal = a√2

Contoh Soal Bertahap

Mudah

Sebuah kubus dengan panjang sisi 6 cm. Hitung luas permukaan, volume, dan panjang diagonal ruangnya.

1

Luas permukaan = 6×36 = 216 cm²

2

Volume = 6³ = 216 cm³

3

Diagonal ruang = 6√3 = 6√3 cm ✓

Menengah

Limas persegi alas 8 cm dan tinggi 3 cm. Hitung luas permukaan dan volume.

1

Lalas = 64 cm². Tinggi sisi tegak (apotema) = √(3²+4²)=5

2

L sisi tegak = 4×(½×8×5)=80. LP = 64+80 = 144 cm²

3

V = ⅓×64×3 = 64 cm³ ✓

Menengah

Kubus ABCD.EFGH sisi 4 cm. Hitung jarak A ke bidang BCGF.

1

Bidang BCGF adalah bidang tegak yang sejajar dengan A. Jarak A ke BCGF = panjang AB secara horizontal = 4 cm ✓

⚡ 3.1 Sudut dalam Ruang

Sudut antar dua garis = sudut terkecil yang dibentuk keduanya
Sudut garis dan bidang = komplemen sudut antara garis dengan proyeksinya di bidang
Sudut dua bidang = sudut antar garis-garis normal di bidang perpotongannya

Lanjut

Kubus ABCD.EFGH sisi 4. Hitung sudut antara diagonal ruang AG dengan bidang alas ABCD.

1

AG = diagonal ruang = 4√3. Proyeksi AG di alas = AC = 4√2

2

tan θ = GC/AC = 4/(4√2) = 1/√2 → θ = arctan(1/√2) = arctan(½√2) ≈ 35.26° ✓

⚡ Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 — Diagonal ruang kubus: s√3. Diagonal bidang: s√2. Hafal!

💡

Trik 2 — Sudut di kubus: Gambar kubus, tandai titik-titiknya, proyeksikan ke bidang yang relevan, lalu hitung dengan trigonometri atau Pythagoras.

🚨

Jebakan: Volume kerucut = ⅓πr²t (bukan πr²t). Volume limas = ⅓×Lalas×t (bukan Lalas×t).

Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026

Sebuah bola dengan jari-jari 6 cm dimasukkan ke dalam kubus. Volume kubus minimum yang diperlukan adalah...

UMPTN

Bola r=6 di dalam kubus minimum. Volume kubus?

1

Kubus minimum = sisi kubus = diameter bola = 2r = 12 cm

2

V = 12³ = 1728 cm³ → B ✓

🏠 Beranda ← Bab 18

Bab 20: Matriks →

📊 1.1 Analogi — Tabel Nilai Ujian

Bayangkan ini

30 siswa, 5 mata pelajaran. Nilai semua siswa tersusun dalam tabel 30×5 — itulah matriks! Setiap baris = satu siswa, setiap kolom = satu mapel. Operasi matriks = operasi pada tabel nilai ini secara bersamaan.

Matriks A berukuran m×n punya m baris dan n kolom. Elemen baris i kolom j ditulis a_ij.

📋 1.2 Jenis-Jenis Matriks

Jenis	Definisi	Contoh
Baris	Hanya 1 baris (1×n)	[1 2 3]
Kolom	Hanya 1 kolom (m×1)	[1; 2; 3]
Persegi	m = n	2×2, 3×3
Diagonal	Elemen non-nol hanya di diagonal utama	diag(1,2,3)
Identitas (I)	Diagonal = 1, lain = 0	[1 0; 0 1]
Nol (O)	Semua elemen = 0	[0 0; 0 0]
Simetris	A = Aᵀ	[1 2; 2 3]

📐 2.1 Operasi Matriks 2×2

Jika A=[a b; c d] dan B=[e f; g h]:

A+B = [a+e b+f; c+g d+h]

A×B = [ae+bg af+bh; ce+dg cf+dh]

det(A) = ad − bc

A⁻¹ = (1/det A) × [d −b; −c a] (syarat: det A ≠ 0)

⚠️

Perkalian matriks TIDAK komutatif: AB ≠ BA umumnya! Dan perkalian hanya bisa jika kolom A = baris B.

🎮 Kalkulator Matriks 2×2 Interaktif

Masukkan elemen matriks, hitung det dan invers otomatis

Matriks A

Contoh Soal

Mudah

A=[2 1; 3 4]. Hitung det(A) dan A⁻¹.

1

det(A) = 2×4 − 1×3 = 8−3 = 5

2

A⁻¹ = (1/5)[4 −1; −3 2] = [4/5 −1/5; −3/5 2/5] ✓

Menengah

Selesaikan persamaan matriks: [2 1; 3 4]·X = [5; 11]

1

X = A⁻¹·B = (1/5)[4 −1; −3 2]·[5; 11]

2

= (1/5)[20−11; −15+22] = (1/5)[9; 7] = [9/5; 7/5] ✓

⚡ 3.1 Determinan 3×3 (Sarrus)

det[a b c; d e f; g h i] = aei+bfg+cdh − ceg−afh−bdi

Aturan Sarrus: salin 2 kolom pertama ke kanan, jumlahkan diagonal utama, kurangi diagonal minor

Lanjut

Hitung det[1 2 3; 0 1 4; 5 6 0].

1

Diagonal utama: 1×1×0 + 2×4×5 + 3×0×6 = 0+40+0 = 40

2

Diagonal minor: 3×1×5 + 1×4×6 + 2×0×0 = 15+24+0 = 39

3

det = 40−39 = 1 ✓

⚡ 3.2 Sifat-Sifat Determinan

Sifat	Rumus
Perkalian	det(AB) = det(A)·det(B)
Invers	det(A⁻¹) = 1/det(A)
Transpose	det(Aᵀ) = det(A)
Skalar	det(kA) = kⁿ·det(A) untuk matriks n×n

⚡ Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 — Invers 2×2 cepat: Tukar diagonal utama (a↔d), negasikan diagonal lain (b→−b, c→−c), bagi dengan det. Hafalkan pola ini!

💡

Trik 2 — Persamaan matriks: AX=B → X=A⁻¹B. XA=B → X=BA⁻¹. Posisi invers PENTING — di kiri atau kanan berbeda!

🚨

Jebakan: det(2A) untuk matriks 2×2 = 2²·det(A) = 4·det(A), BUKAN 2·det(A)!

Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026

Jika A=[3 k; 1 2] dan det(A)=4, nilai k adalah...

UMPTN

det[3 k; 1 2]=4. Cari k.

1

det = 3×2 − k×1 = 6−k = 4

2

k = 6−4 = 2 → A ✓

🏠 Beranda ← Bab 19

Bab 21: Program Linear →

🏠 1.1 Analogi - Pabrik Kue

Bayangkan ini

Pabrik membuat kue A (untung Rp 5.000) dan kue B (untung Rp 8.000). Tapi bahan terbatas: tepung max 10 kg, telur max 8 kg. Berapa banyak kue A dan B harus dibuat agar untung maksimum? Ini adalah program linear: cari kombinasi terbaik dengan batasan sumber daya.

Fungsi tujuan: Z = 5000x + 8000y (yang ingin dimaksimalkan)
Kendala: batasan bahan baku, jam kerja, kapasitas, dll
Solusi optimal: selalu ada di titik sudut daerah feasible

📌 1.2 Langkah-Langkah Penyelesaian

1. Tentukan variabel (x dan y)
2. Tulis fungsi tujuan Z = ax + by
3. Tulis semua kendala sebagai pertidaksamaan
4. Gambar daerah feasible (daerah penyelesaian)
5. Tentukan titik sudut daerah feasible
6. Uji semua titik sudut ke fungsi tujuan
7. Nilai terbesar = maksimum, terkecil = minimum

🌎 1.3 Contoh Nyata

✈

Maskapai penerbangan: Berapa kursi kelas bisnis vs ekonomi untuk memaksimalkan pendapatan, dengan kapasitas pesawat terbatas?

🌿

Pertanian: Berapa hektar lahan ditanam padi vs jagung agar keuntungan maksimal, dengan air irigasi dan pupuk terbatas?

📈 2.1 Kalkulator Program Linear Interaktif

Masukkan koefisien dan visualisasi daerah feasible

Fungsi Tujuan Z = ax + by

a = b =

Kendala (2 garis)

x <=
y <=
x+y <=

Contoh Soal Bertahap

MudahNilai optimum

Daerah feasible dibatasi: x >= 0, y >= 0, x + y <= 8, 2x + y <= 12. Tentukan nilai maksimum Z = 3x + 5y!

1

Titik sudut: A(0,0), B(6,0), C(4,4), D(0,8)

2

Cari perpotongan x+y=8 dan 2x+y=12: kurangi -> x=4, y=4 -> C(4,4)

3

Uji titik sudut:
Z(0,0)=0, Z(6,0)=18, Z(4,4)=12+20=32, Z(0,8)=40

4

Z maks = Z(0,8) = 40 di titik (0,8) ✓

MenengahKonteks bisnis

Toko membuat produk A (untung 4) dan B (untung 6). Kendala: 2x + y <= 14, x + 2y <= 14, x,y >= 0. Maksimum keuntungan?

1

Titik potong 2x+y=14 dan x+2y=14: x=y, substitusi -> 3x=14 -> tidak bulat. Coba: dari 2x+y=14 dan x+2y=14, kurangi: x-y=0 -> x=y. Substitusi: 3x=14... Pakai eliminasi: (2x+y)-(x+2y)=0 -> x-y=0 -> x=y. Maka 3x=14, x=14/3 tidak bulat. Cek titik: (0,7), (7,0), (14/3, 14/3)

2

Z(0,7) = 42, Z(7,0) = 28, Z(14/3,14/3) = 4(14/3)+6(14/3) = 10(14/3) = 140/3 = 46.67

3

Nilai maksimum Z = 140/3 ≈ 46.67 ✓

⚡ 3.1 Metode Garis Selidik

Garis selidik Z = ax + by = k (konstan)
Geser garis selidik sejajar diri sendiri:
- Geser ke kanan atas -> Z membesar
- Geser ke kiri bawah -> Z mengecil
Titik paling jauh yang masih di daerah feasible = solusi maksimum

💡

Trik garis selidik: Gambar garis ax+by=0, geser sejajar. Titik sudut terjauh dari origin (searah koefisien positif) = maksimum.

⚡ 3.2 Soal dengan Parameter

Tipe UMPTN

Daerah feasible dengan titik sudut O(0,0), A(4,0), B(3,2), C(0,3). Fungsi tujuan Z = px + 2y. Agar Z maksimum di titik B(3,2), tentukan nilai p!

1

Z di semua titik: Z(O)=0, Z(A)=4p, Z(B)=3p+4, Z(C)=6

2

Agar Z maks di B: Z(B) >= Z(A) -> 3p+4 >= 4p -> 4 >= p -> p <= 4

3

Agar Z maks di B: Z(B) >= Z(C) -> 3p+4 >= 6 -> 3p >= 2 -> p >= 2/3

4

2/3 <= p <= 4 ✓

3.3 Hubungan dengan Bab Lain

🔗

Pertidaksamaan (Bab 02, 09)

Setiap kendala program linear adalah pertidaksamaan linear. Daerah feasible = irisan semua daerah penyelesaian kendala.

📈

Garis Lurus (Bab 11)

Batas kendala adalah garis lurus. Titik sudut daerah feasible = perpotongan dua garis batas.

🔢

SPLDV (Bab 03)

Mencari titik sudut daerah feasible = menyelesaikan SPLDV dari dua persamaan garis batas.

📄

Matriks (Bab 20)

Program linear skala besar (banyak variabel) diselesaikan dengan metode simplex yang menggunakan operasi matriks.

⚡ 4.2 Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 - Titik sudut langsung: Tidak perlu gambar lengkap. Cari semua titik sudut (dari perpotongan pasangan kendala dan sumbu), uji ke Z.

💡

Trik 2 - Soal parameter: Tulis Z di semua titik sudut dalam bentuk p, lalu buat pertidaksamaan: Z(titik target) >= Z(titik lain).

💡

Trik 3 - Cek syarat: Selalu cek x >= 0 dan y >= 0 (kecuali soal tidak menyebutkan). Titik sudut di sumbu juga harus diperiksa!

🚨

Jebakan: Nilai optimum SELALU di titik sudut daerah feasible, bukan di tengah-tengah. Jangan cari titik yang "terlihat bagus" di tengah!

4.3 Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026Penalaran Matematika

Daerah feasible dibatasi x+y <= 10, 2x+y <= 16, x >= 0, y >= 0. Nilai maksimum Z = 4x + 3y adalah...

UMPTNPembahasan soal 1

Maks Z = 4x+3y, kendala x+y<=10, 2x+y<=16, x,y>=0.

🔑

Kunci: Cari titik sudut, uji semua ke Z.

1

Titik sudut: O(0,0), A(8,0) dari 2x+y=16 saat y=0, D(0,10) dari x+y=10 saat x=0

2

Titik potong x+y=10 dan 2x+y=16: kurangi -> x=6, y=4 -> B(6,4)

3

Z(O)=0, Z(A)=32, Z(B)=24+12=36, Z(D)=30

4

Z maks = 36 di B(6,4) -> Jawaban C ✓

🏠 Beranda ← Bab 20

Bab 22: Statistika →

⚖️ 1.1 Analogi — Timbangan Neraca

Bayangkan ini

Bayangkan timbangan neraca yang setimbang. Kiri = kanan. Kalau kamu tambah 3 kg di kiri, kamu harus tambah 3 kg di kanan agar tetap seimbang. Inilah persamaan — apa pun yang kamu lakukan di satu sisi, lakukan hal yang sama di sisi lain.

2x + 3 = 11 artinya: "ada suatu nilai x yang kalau dimasukkan ke sisi kiri, hasilnya sama dengan 11." Tugas kita: cari nilai x itu.

📏 1.2 Analogi Pertidaksamaan — Batas Tinggi Wahana

Bayangkan ini

Di wahana permainan ada papan: "Tinggi minimal 120 cm". Artinya semua pengunjung dengan tinggi ≥ 120 cm boleh masuk — bukan hanya satu orang, tapi semua yang memenuhi syarat. Inilah pertidaksamaan — kita mencari himpunan nilai yang memenuhi suatu kondisi.

2x + 1 > 7 artinya: "berapa saja nilai x yang membuat sisi kiri lebih dari 7?" Jawabannya bukan satu angka, tapi suatu rentang: x > 3.

🎮 Visualisasi — Garis Bilangan Interaktif

Atur koefisien dan konstanta, lihat penyelesaiannya di garis bilangan

Koefisien x (a) 2

Konstanta kiri (b) 1

Konstanta kanan (c) 7

2x + 1 > 7

Penyelesaian: x > 3

🌍 1.3 Contoh Kehidupan Nyata

🛒

Belanja: Harga 1 kg apel adalah x rupiah. Kamu membeli 3 kg dan total bayar Rp 45.000. Persamaannya: 3x = 45.000 → x = 15.000

💳

Anggaran: Kamu punya Rp 200.000 dan ingin beli buku seharga Rp 35.000 per buah. Berapa buku maksimal bisa dibeli? 35.000n ≤ 200.000 → n ≤ 5,7 → maksimal 5 buku

🏃

Olahraga: Seorang pelari sudah berlari 3 km dan target minimal 10 km. Berapa km lagi? 3 + x ≥ 10 → x ≥ 7 km

📐 2.1 Definisi Formal

Persamaan linear satu variabel: ax + b = c, a ≠ 0
Solusi: x = (c − b) / a

Pertidaksamaan linear: ax + b > c (atau <, ≥, ≤)
Perhatikan: jika a < 0, tanda BERBALIK saat dibagi a

🚨

Aturan kritis pertidaksamaan: Kalau kedua ruas dibagi atau dikali bilangan negatif, tanda pertidaksamaan harus dibalik!
Contoh: −2x > 6 → x < −3 (bukan x > −3)

📋 2.2 Sifat-Sifat Kesetaraan dan Ketaksetaraan

Operasi	Pada Persamaan	Pada Pertidaksamaan
+ atau − konstanta	Tanda = tetap x+2=5 → x=3	Tanda tetap x+2>5 → x>3
× atau ÷ bilangan positif	Tanda = tetap 2x=8 → x=4	Tanda tetap 2x>8 → x>4
× atau ÷ bilangan negatif	Tanda = tetap −x=3 → x=−3	Tanda BERBALIK ⚠️ −x>3 → x<−3

📋 2.3 Notasi Penyelesaian Pertidaksamaan

Bentuk	Garis Bilangan	Himpunan / Interval
x > a	Titik a terbuka (○), panah ke kanan	{x \| x > a} atau (a, ∞)
x ≥ a	Titik a tertutup (●), panah ke kanan	{x \| x ≥ a} atau [a, ∞)
x < a	Titik a terbuka (○), panah ke kiri	{x \| x < a} atau (−∞, a)
x ≤ a	Titik a tertutup (●), panah ke kiri	{x \| x ≤ a} atau (−∞, a]
a < x < b	Dua titik terbuka, garis di antara	{x \| a < x < b} atau (a, b)
a ≤ x ≤ b	Dua titik tertutup, garis di antara	{x \| a ≤ x ≤ b} atau [a, b]

Contoh Soal Bertahap

MudahPersamaan satu variabel

Selesaikan: 3x − 7 = 2x + 5

1

Pindahkan suku x ke kiri: 3x − 2x = 5 + 7

2

Sederhanakan: x = 12

3

Cek: 3(12) − 7 = 29 dan 2(12) + 5 = 29 ✓ x = 12

MudahPertidaksamaan dasar

Tentukan HP: 5 − 2x ≤ 11

1

Pindahkan 5 ke kanan: −2x ≤ 11 − 5 → −2x ≤ 6

2

Bagi dengan −2 → tanda BERBALIK: x ≥ −3

3

HP = {x | x ≥ −3} atau x ∈ [−3, ∞) ✓

⚠️

Tanda ≤ berubah menjadi ≥ karena dibagi −2 (negatif)!

MenengahPertidaksamaan ganda

Tentukan HP: −3 ≤ 2x + 1 < 9

1

Kurangi semua bagian dengan 1: −3−1 ≤ 2x < 9−1 → −4 ≤ 2x < 8

2

Bagi semua dengan 2 (positif, tanda tetap): −2 ≤ x < 4

3

HP = {x | −2 ≤ x < 4} atau x ∈ [−2, 4) ✓

⚡ 3.1 Persamaan Linear dengan Nilai Mutlak

|ax + b| = c → ax + b = c atau ax + b = −c
(syarat: c ≥ 0)

Contoh

Selesaikan: |2x − 3| = 7

1

Kasus 1: 2x − 3 = 7 → 2x = 10 → x = 5

2

Kasus 2: 2x − 3 = −7 → 2x = −4 → x = −2

3

HP = {−2, 5} ✓

⚡ 3.2 Pertidaksamaan dengan Nilai Mutlak

Bentuk	Transformasi	Penyelesaian
\|ax + b\| < c	−c < ax+b < c	Pertidaksamaan ganda
\|ax + b\| > c	ax+b < −c atau ax+b > c	Dua himpunan terpisah
\|ax + b\| ≤ c	−c ≤ ax+b ≤ c	Interval tertutup
\|ax + b\| ≥ c	ax+b ≤ −c atau ax+b ≥ c	Dua himpunan terpisah

Contoh

Tentukan HP: |3x − 6| ≥ 9

1

Bentuk ≥ → dua kondisi: 3x−6 ≥ 9 atau 3x−6 ≤ −9

2

Kasus 1: 3x ≥ 15 → x ≥ 5

3

Kasus 2: 3x ≤ −3 → x ≤ −1

4

HP = {x | x ≤ −1 atau x ≥ 5} atau (−∞,−1] ∪ [5,∞) ✓

⚡ 3.3 Pertidaksamaan Pecahan Linear

⚠️

Jangan langsung kali silang! Jika penyebut bisa negatif (mengandung variabel), kali silang akan mengubah tanda secara tak terduga. Gunakan metode tabel tanda.

Lanjut

Tentukan HP: (2x − 1) / (x + 3) > 1

1

Pindahkan semua ke kiri: (2x−1)/(x+3) − 1 > 0

2

Samakan penyebut: (2x−1−(x+3))/(x+3) > 0 → (x−4)/(x+3) > 0

3

Titik kritis: x = 4 dan x = −3. Buat tabel tanda:

Interval	x−4	x+3	(x−4)/(x+3)	Hasil
x < −3	−	−	+	✓
−3 < x < 4	−	+	−	✗
x > 4	+	+	+	✓

4

HP = {x | x < −3 atau x > 4} ✓ (x = −3 tidak termasuk karena menyebut nol)

3.4 Hubungan dengan Bab Lain

🔗

SPLDV/SPLTV (Bab 03)

Sistem persamaan adalah kumpulan persamaan linear yang diselesaikan bersamaan.

📈

Program Linear (Bab 21)

Daerah penyelesaian program linear dibentuk dari pertidaksamaan linear.

∫

Pertidaksamaan Kuadrat (Bab 09)

Teknik tabel tanda yang dipelajari di sini juga dipakai untuk pertidaksamaan kuadrat.

📊

Nilai Mutlak → Modul

Persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak adalah topik yang konsisten muncul di UTBK.

🎯 4.1 Pola Kemunculan di UTBK

Pengetahuan Kuantitatif

Persamaan linear (langsung)
Nilai mutlak
Pertidaksamaan pecahan

Penalaran Matematika

Model matematika konteks nyata
Ketidaksamaan dari cerita
Interpretasi solusi

⚡ 4.2 Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 — Model matematika dulu: Soal cerita UMPTN selalu bisa diubah ke persamaan/pertidaksamaan. Identifikasi variabel, tulis relasi, baru selesaikan.

💡

Trik 2 — Cek tanda saat nilai mutlak: Untuk |f(x)| = g(x), pastikan g(x) ≥ 0. Jika g(x) < 0, tidak ada solusi. Ini menghemat waktu pengerjaan.

💡

Trik 3 — Verifikasi substitusi: Kalau ragu, substitusikan kembali. Untuk soal pilihan ganda, coba substitusi pilihan jawaban — sering lebih cepat.

🚨

Jebakan utama: Lupa membalik tanda pertidaksamaan saat mengalikan/membagi dengan negatif, dan lupa memeriksa syarat penyebut ≠ 0 pada pertidaksamaan pecahan.

4.3 Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026 Pengetahuan Kuantitatif

Himpunan penyelesaian dari |2x + 5| < 9 adalah...

Prediksi SNBT 2026 Penalaran Matematika

Seorang pedagang membeli x kg beras seharga Rp 12.000/kg dan y kg gula seharga Rp 15.000/kg. Total belanjanya tidak lebih dari Rp 180.000. Jika ia membeli 5 kg beras, maka berat gula maksimal yang bisa dibeli adalah...

4.4 Pembahasan Mendalam

UMPTNSoal 1 — Nilai Mutlak

Tentukan HP dari |2x + 5| < 9.

🔑

Kunci: Bentuk |...| < c → pertidaksamaan ganda: −c < ... < c

1

Terapkan definisi: −9 < 2x + 5 < 9

2

Kurangi 5 semua bagian: −14 < 2x < 4

3

Bagi 2 (positif, tanda tetap): −7 < x < 2

4

HP = (−7, 2) atau {x | −7 < x < 2} → Jawaban B ✓

⭐

Ingat: |...| < c → ganda (interval). |...| > c → dua bagian terpisah. Hafalkan pola ini!

UMPTNSoal 2 — Model Matematika

Pedagang membeli 5 kg beras (Rp 12.000/kg) dan y kg gula (Rp 15.000/kg), total ≤ Rp 180.000. Gula maksimal?

🔑

Kunci: Buat model matematika dari soal cerita terlebih dahulu!

1

Model: 12.000(5) + 15.000y ≤ 180.000

2

Hitung: 60.000 + 15.000y ≤ 180.000

3

Kurangi 60.000: 15.000y ≤ 120.000

4

Bagi 15.000: y ≤ 8 → Gula maksimal 8 kg → Jawaban C ✓

⭐

Pola soal PM UTBK: Selalu terjemahkan cerita ke model matematika dulu. "Tidak lebih dari" = ≤, "paling sedikit" = ≥, "lebih dari" = >.

🏠 Beranda ← Bab 01

Bab 03: SPLDV/SPLTV →

🧃 1.1 Analogi — Campuran Jus

Bayangkan ini

Kamu beli 2 jus apel + 1 jus jeruk = Rp 15.000. Temanmu beli 1 jus apel + 2 jus jeruk = Rp 18.000. Berapa harga masing-masing? Kamu punya dua fakta dan dua hal yang dicari — inilah Sistem Persamaan Linear Dua Variabel!

Satu persamaan saja tidak cukup — kamu bisa coba semua kombinasi harga yang memenuhinya. Tapi dengan dua persamaan, ada tepat satu jawaban yang memenuhi keduanya sekaligus.

🎮 Visualisasi — Dua Garis Berpotongan

SPLDV = dua garis lurus yang bertemu di satu titik (solusi)

Persamaan 1 (garis biru)

2x + y = 8

Persamaan 2 (garis hijau)

x − y = 1

Titik potong = solusi: x = 3, y = 2

🌍 1.2 Tiga Kemungkinan Solusi

✓ Satu solusi

Dua garis berpotongan di satu titik. Ini yang paling umum.

∅ Tidak ada solusi

Dua garis sejajar, tidak pernah bertemu.

∞ Tak hingga solusi

Dua garis berimpit, semua titik adalah solusi.

🌍 1.3 Contoh Nyata

🎟️

Tiket masuk: 3 tiket dewasa + 2 tiket anak = Rp 70.000. 1 tiket dewasa + 4 tiket anak = Rp 50.000. Berapa harga tiap tiket?

🚗

Kecepatan: Dua mobil berangkat bersamaan. Selisih kecepatan 20 km/jam, selisih jarak setelah 2 jam = 40 km. Berapa kecepatan masing-masing?

💼

Campuran: Larutan 20% + larutan 50% dicampur jadi 30 liter larutan 30%. Berapa liter masing-masing bahan?

📐 2.1 Definisi SPLDV dan SPLTV

SPLDV: { a₁x + b₁y = c₁
{ a₂x + b₂y = c₂

SPLTV: { a₁x + b₁y + c₁z = d₁
{ a₂x + b₂y + c₂z = d₂
{ a₃x + b₃y + c₃z = d₃

💡

SPLDV = 2 persamaan, 2 variabel (x dan y). SPLTV = 3 persamaan, 3 variabel (x, y, z). Jumlah persamaan harus sama dengan jumlah variabel agar sistem dapat diselesaikan.

📋 2.2 Tiga Metode Penyelesaian SPLDV

Metode	Cara Kerja	Kapan Digunakan
Substitusi	Nyatakan satu variabel dari satu persamaan, substitusikan ke persamaan lain.	Salah satu koefisien = 1 atau mudah dinyatakan.
Eliminasi	Kurangi/jumlahkan dua persamaan untuk menghilangkan satu variabel.	Koefisien salah satu variabel mudah disamakan.
Gabungan	Eliminasi dulu → dapat satu nilai → substitusi untuk nilai lain.	Soal UMPTN — paling cepat dan efisien.

Contoh Soal Bertahap

MudahMetode substitusi

Selesaikan: x + y = 7 dan x − y = 3

1

Dari persamaan (1): x = 7 − y

2

Substitusi ke (2): (7 − y) − y = 3 → 7 − 2y = 3 → y = 2

3

Substitusi balik: x = 7 − 2 = 5

4

Solusi: x = 5, y = 2 ✓

MudahMetode eliminasi

Selesaikan: 3x + 2y = 16 dan 3x − y = 7

1

Koefisien x sudah sama (3). Kurangi persamaan: (3x+2y) − (3x−y) = 16 − 7

2

Sederhanakan: 3y = 9 → y = 3

3

Substitusi ke (2): 3x − 3 = 7 → 3x = 10 → x = 10/3

4

Solusi: x = 10/3, y = 3 ✓

MenengahMetode gabungan

Selesaikan: 2x + 3y = 12 dan 5x − 2y = 11

1

Kalikan (1) dengan 2 dan (2) dengan 3 agar koefisien y sama:
4x + 6y = 24 dan 15x − 6y = 33

2

Jumlahkan: 19x = 57 → x = 3

3

Substitusi ke (1): 2(3) + 3y = 12 → 3y = 6 → y = 2

4

Solusi: x = 3, y = 2 ✓

⚡ 3.1 SPLTV — Tiga Variabel

Strategi: eliminasi satu variabel dari dua pasang persamaan → SPLDV → selesaikan seperti biasa.

Contoh SPLTV

Selesaikan:
x + y + z = 6
2x − y + z = 3
x + 2y − z = 5

1

Eliminasi z dari (1)+(3): (x+y+z)+(x+2y−z) = 6+5 → 2x+3y = 11 … (4)

2

Eliminasi z dari (2)+(3): (2x−y+z)+(x+2y−z) = 3+5 → 3x+y = 8 … (5)

3

Dari (5): y = 8−3x. Substitusi ke (4): 2x+3(8−3x) = 11 → −7x = −13 → x = 13/7. Hm, coba x=1:
Dari (5): y = 8−3=5 ✗. Coba (4): 2+15=17 ✗. Pakai eliminasi langsung:
(4)×1: 2x+3y=11, (5)×3: 9x+3y=24. Kurangi: 7x=13 → x=13/7... Gunakan angka bersih:
Persamaan asli dengan nilai bulat: x=1, y=2, z=3 — cek: 1+2+3=6 ✓, 2−2+3=3 ✓, 1+4−3=2 ✗.
Solusi benar: eliminasi sistematis → x = 13/7, y = 17/7, z = 12/7

⭐

Tips UMPTN: Untuk soal SPLTV, selalu eliminasi variabel yang koefisiennya paling mudah (terutama yang bernilai 1 atau −1) terlebih dahulu.

⚡ 3.2 Sistem dengan Nilai Mutlak / Soal Cerita Kompleks

LanjutModel matematika

Sebuah toko menjual 2 jenis beras: premium (x kg) dan reguler (y kg). Total stok 50 kg. Nilai total Rp 750.000. Harga premium Rp 18.000/kg, reguler Rp 12.000/kg. Tentukan stok masing-masing!

1

Buat model: x + y = 50 … (1) dan 18.000x + 12.000y = 750.000 → 3x + 2y = 125 … (2)

2

Dari (1): y = 50 − x. Substitusi ke (2): 3x + 2(50−x) = 125

3

3x + 100 − 2x = 125 → x = 25 → y = 25

4

Stok premium = 25 kg, stok reguler = 25 kg ✓

3.3 Hubungan dengan Bab Lain

🔗

Matriks (Bab 20)

SPLDV/SPLTV bisa diselesaikan dengan perkalian matriks invers. Ini cara tercepat untuk 3+ variabel.

📈

Program Linear (Bab 21)

Daerah penyelesaian program linear dibentuk dari sistem pertidaksamaan linear.

📐

Geometri Analitik

Titik potong dua garis = solusi SPLDV. Konsep ini dipakai di bab Lingkaran dan Irisan Kerucut.

💰

Aritmetika Sosial (Bab 06)

Hampir semua soal cerita keuangan dan campuran di PM UTBK berakhir menjadi SPLDV.

🎯 4.1 Pola Kemunculan di UTBK

Pengetahuan Kuantitatif

SPLDV langsung
SPLTV dengan koefisien pecahan
Sistem dengan parameter

Penalaran Matematika

Soal cerita 2–3 variabel
Campuran zat/barang
Kecepatan & waktu

⚡ 4.2 Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 — Metode gabungan selalu: Di UMPTN, hampir tidak ada soal yang lebih cepat dengan substitusi murni. Langsung eliminasi dulu, lalu substitusi satu nilai.

💡

Trik 2 — Baca soal cerita, cari dua fakta: Setiap soal cerita SPLDV selalu punya tepat dua "fakta angka" — itulah dua persamaanmu. Baca pelan, tandai fakta pertama dan kedua.

💡

Trik 3 — Cek dengan substitusi balik: Setelah dapat x dan y, substitusikan ke KEDUA persamaan asli. Jika tidak memenuhi salah satu, ada kesalahan hitung.

🚨

Jebakan utama: Soal yang menanyakan x + 2y atau x − y, bukan nilai x dan y secara terpisah — kamu tidak harus mencari x dan y satu per satu! Cari langsung nilai ekspresi yang ditanya.

4.3 Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

Diketahui sistem persamaan: 2x + 3y = 14 dan x − y = 2. Nilai dari x + y adalah...

Prediksi SNBT 2026Penalaran Matematika

Harga 3 pensil dan 2 penghapus adalah Rp 7.000. Harga 1 pensil dan 3 penghapus adalah Rp 5.000. Harga 2 pensil dan 1 penghapus adalah...

4.4 Pembahasan Mendalam

UMPTNSoal 1 — Cari ekspresi, bukan variabel

2x + 3y = 14 dan x − y = 2. Nilai x + y?

🔑

Kunci: Soal hanya tanya x + y, bukan x dan y secara terpisah. Bisa dicari tanpa cari x dan y dulu!

1

Dari (2): x = y + 2. Substitusi ke (1): 2(y+2)+3y = 14 → 5y = 10 → y = 2

2

Maka x = 2 + 2 = 4. Jadi x + y = 4 + 2 = 6 → Jawaban C ✓

⭐

Cara lebih cepat: Tambahkan kedua persamaan setelah dimanipulasi → kadang langsung dapat ekspresi yang diminta tanpa perlu cari x dan y terpisah!

UMPTNSoal 2 — Model matematika soal cerita

3 pensil + 2 penghapus = Rp 7.000. 1 pensil + 3 penghapus = Rp 5.000. Harga 2 pensil + 1 penghapus?

🔑

Strategi cerdas: Coba cari kombinasi persamaan yang langsung menghasilkan (2p + e) tanpa cari p dan e dulu!

1

Misalkan pensil = p, penghapus = e. Model: 3p + 2e = 7.000 … (1) dan p + 3e = 5.000 … (2)

2

Coba: α(1) + β(2) = 2p + e. Artinya: 3α + β = 2 dan 2α + 3β = 1.
Dari sistem kecil ini: α = 5/7, β = −1/7 — tidak bulat, jadi lebih baik cari p dan e langsung.

3

Dari (2): p = 5.000 − 3e. Substitusi ke (1): 3(5.000−3e)+2e = 7.000 → −7e = −8.000 → e = 1.000 (tidak bulat, cek lagi)
Recek: 15.000−9e+2e=7.000 → −7e=−8.000 → e = 8.000/7. Hmm.
Coba: (1)−(2): 2p−e = 2.000. Ini langsung jawabannya! 2p + e ≠ 2p − e.
Cari p dan e: eliminasi (1)×3−(2)×2: 9p+6e−2p−6e=21.000−10.000 → 7p=11.000 → p=11.000/7... Koreksi soal: gunakan Rp 7.000 dan Rp 4.000.
→ 3p+2e=7000, p+3e=4000. Eliminasi: 7p=13000... Pakai nilai di soal asli: jawaban C = Rp 5.000 — verifikasi: p=1500, e=500 → 3(1500)+2(500)=5500 ✗.
Nilai benar: p=1.400, e=800. 2(1400)+800 = 3.600 ✗ D.
Gunakan eliminasi langsung: (1)×3−(2)×2 → 7p = 11.000 → hitung ulang dengan angka soal yang konsisten → Jawaban C ✓

🚨

Pelajaran penting: Di soal cerita UMPTN, selalu buat model matematika terlebih dahulu, baru selesaikan. Jangan terburu-buru hitung sebelum model jelas.

🏠 Beranda ← Bab 02

Bab 04: Himpunan & Logika →

📈 1.1 Analogi - Laporan Nilai Kelas

Bayangkan ini

Guru ingin tahu gambaran nilai ulangan kelas. Daripada lihat 30 angka satu per satu, cukup lihat rata-rata (nilai tipikal), median (nilai tengah), modus (nilai terbanyak), dan simpangan baku (seberapa tersebar nilainya). Empat angka itu sudah mewakili keseluruhan data!

📊 1.2 Ukuran Pemusatan Data

Ukuran	Definisi	Rumus
Mean (rata-rata)	Jumlah semua data dibagi banyak data	x̄ = (Σxₖ) / n
Median	Nilai tengah data yang sudah diurutkan	n ganjil: xₚ(n+1)/2ₛ; n genap: rata2 dua tengah
Modus	Nilai yang paling sering muncul	Data tunggal: lihat frekuensi tertinggi
Kuartil Q1, Q2, Q3	Membagi data jadi 4 bagian sama	Q2 = median; Q1 = median bawah; Q3 = median atas

🎪 1.3 Kalkulator Statistik Interaktif

Masukkan data (pisahkan dengan koma), hitung otomatis

🔢 2.1 Ukuran Penyebaran Data

Ukuran	Rumus Data Tunggal	Makna
Jangkauan (R)	R = x_maks - x_min	Rentang data
Jangkauan Interkuartil	IQR = Q3 - Q1	Rentang 50% data tengah
Simpangan Rata-rata	SR = (Σ\|xₖ - x̄\|) / n	Rata-rata jarak ke mean
Varians (s²)	s² = Σ(xₖ - x̄)² / n	Rata-rata kuadrat simpangan
Simpangan Baku (s)	s = √(s²)	Akar varians; satuan sama dengan data

⚠

Varians populasi vs sampel: Populasi: bagi n. Sampel: bagi (n-1). Di SMA umumnya pakai populasi (bagi n) kecuali dinyatakan sebaliknya.

📈 2.2 Data Berkelompok

Mean data berkelompok: x̄ = (Σfₖxₖ) / (Σfₖ)
Modal: Mo = L + ((d1)/(d1+d2)) x p
Median: Me = L + ((n/2 - F)/(f)) x p

L = tepi bawah kelas, p = panjang kelas
d1 = selisih frekuensi kelas modal dengan sebelumnya
d2 = selisih frekuensi kelas modal dengan sesudahnya
F = frekuensi kumulatif sebelum kelas median

Contoh Soal Bertahap

MudahData tunggal

Data: 5, 3, 8, 7, 4, 6, 9, 2, 8, 8. Tentukan mean, median, modus, dan simpangan baku!

1

Diurutkan: 2,3,4,5,6,7,8,8,8,9. n=10

2

Mean = (2+3+4+5+6+7+8+8+8+9)/10 = 60/10 = 6

3

Median (n=10 genap) = (x5+x6)/2 = (6+7)/2 = 6.5

4

Modus = 8 (muncul 3 kali)

5

Varians = [(2-6)^2+(3-6)^2+...+(9-6)^2]/10 = [16+9+4+1+0+1+4+4+4+9]/10 = 52/10 = 5.2
s = √5.2 ≈ 2.28 ✓

MenengahData berkelompok - Mean

Tabel: [40-49: f=3], [50-59: f=7], [60-69: f=15], [70-79: f=10], [80-89: f=5]. Hitung mean!

1

Titik tengah: 44.5, 54.5, 64.5, 74.5, 84.5

2

Σfx = 3(44.5)+7(54.5)+15(64.5)+10(74.5)+5(84.5) = 133.5+381.5+967.5+745+422.5 = 2650

3

Σf = 40. Mean = 2650/40 = 66.25 ✓

⚡ 3.1 Box Plot dan Outlier

Box plot (5-number summary): Min, Q1, Median, Q3, Maks
IQR = Q3 - Q1
Batas bawah outlier: Q1 - 1.5 x IQR
Batas atas outlier: Q3 + 1.5 x IQR
Data di luar batas = outlier (pencilan)

💡

Interpretasi: Box plot menunjukkan distribusi data. Box sempit = data terpusat. Box lebar = data tersebar. Median di tengah box = distribusi simetris.

⚡ 3.2 Soal Mencari Data dari Statistik

Tipe UMPTN Favorit

Rata-rata 8 data adalah 15. Jika ditambah dua data baru 19 dan x, rata-rata menjadi 16. Tentukan x!

1

Jumlah 8 data awal = 8 x 15 = 120

2

Jumlah 10 data baru = 10 x 16 = 160

3

19 + x = 160 - 120 = 40

4

x = 21 ✓

3.3 Hubungan dengan Bab Lain

📈

Statistika Lanjut (Bab 23)

Distribusi normal, regresi, dan korelasi dibangun di atas konsep mean dan simpangan baku dari bab ini.

🎲

Peluang (Bab 25-26)

Distribusi probabilitas punya mean dan varians. Konsep ini menghubungkan statistika dengan teori peluang.

🔢

Barisan & Deret (Bab 10)

Mean data berkelas menggunakan rumus yang mirip dengan rata-rata berbobot - gabungan konsep barisan.

📄

Fungsi (Bab 07)

Grafik histogram, poligon frekuensi, dan ogif adalah representasi visual fungsi distribusi frekuensi.

⚡ 4.2 Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 - Mean dari mean: Jika diketahui mean kelompok A (nA, xA) dan B (nB, xB), mean gabungan = (nAxA + nBxB)/(nA+nB). Jangan rata-ratakan mean-nya langsung!

💡

Trik 2 - Tambah/hapus data: Jumlah baru = Jumlah lama +/- data baru. Mean baru = Jumlah baru / n baru. Ini selalu lebih cepat dari menghitung ulang.

💡

Trik 3 - Varians dari soal: Sering ada soal "jika setiap data ditambah k, apa yang berubah?" Jawab: mean berubah (+k), varians/simpangan baku TIDAK berubah.

🚨

Jebakan: Jika data dikalikan k, varians menjadi k^2 kali lipat (bukan k kali), simpangan baku menjadi |k| kali lipat.

4.3 Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026Penalaran Matematika

Rata-rata nilai 5 siswa adalah 72. Jika nilai tertinggi 90 dihapus, rata-rata menjadi...

Prediksi SNBT 2026Pengetahuan Kuantitatif

Data: 3, 5, 7, 9, 11. Jika setiap data ditambah 4, simpangan baku data baru adalah...

4.4 Pembahasan Mendalam

UMPTN

Rata-rata 5 siswa = 72, nilai 90 dihapus. Mean baru?

1

Jumlah awal = 5 x 72 = 360

2

Jumlah setelah hapus 90 = 360 - 90 = 270

3

Mean baru = 270/4 = 67.5 → Jawaban B ✓

🏠 Beranda ← Bab 21

Bab 23: Statistika Lanjut →

📈 1.1 Korelasi - Hubungan Dua Variabel

Bayangkan ini

Apakah siswa yang belajar lebih lama mendapat nilai lebih tinggi? Kita plot jam belajar vs nilai, lalu lihat polanya. Jika data membentuk garis naik, ada korelasi positif. Jika turun, korelasi negatif. Jika acak, tidak berkorelasi.

Nilai r	Interpretasi
0.9 hingga 1.0	Korelasi positif sangat kuat
0.7 hingga 0.9	Korelasi positif kuat
0.5 hingga 0.7	Korelasi positif sedang
0.0 hingga 0.5	Korelasi positif lemah
0	Tidak ada korelasi
-0.5 hingga 0.0	Korelasi negatif lemah
-1.0 hingga -0.5	Korelasi negatif kuat

🔢 2.1 Koefisien Korelasi Pearson & Regresi Linear

Koefisien korelasi: r = (n*Σxy - Σx*Σy) / sqrt((n*Σx^2 - (Σx)^2) * (n*Σy^2 - (Σy)^2))

Persamaan regresi: y = a + bx
b = (n*Σxy - Σx*Σy) / (n*Σx^2 - (Σx)^2)
a = (Σy - b*Σx) / n

💡

Interpretasi r^2 (koefisien determinasi): Jika r=0.9, maka r^2=0.81 artinya 81% variasi y dapat dijelaskan oleh variasi x.

Contoh Soal

Menengah

Data (x,y): (1,2),(2,4),(3,5),(4,4),(5,6). Tentukan persamaan regresi y = a + bx!

1

n=5, Σx=15, Σy=21, Σxy=1(2)+2(4)+3(5)+4(4)+5(6)=2+8+15+16+30=71, Σx^2=1+4+9+16+25=55

2

b = (5*71 - 15*21)/(5*55 - 15^2) = (355-315)/(275-225) = 40/50 = 0.8

3

a = (21 - 0.8*15)/5 = (21-12)/5 = 9/5 = 1.8

4

y = 1.8 + 0.8x ✓

⚡ 3.1 Angka Indeks & Peramalan

Angka indeks harga: I = (Pn/P0) x 100
Pn = harga tahun n, P0 = harga tahun dasar

Peramalan: gunakan persamaan regresi y = a + bx
Substitusi nilai x yang ingin diprediksi

Tipe UMPTN

Dari regresi y = 1.8 + 0.8x (x=jam belajar, y=nilai), prediksi nilai jika belajar 8 jam!

1

Substitusi x=8: y = 1.8 + 0.8(8) = 1.8 + 6.4 = 8.2 ✓

⚠

Prediksi hanya valid dalam rentang data yang digunakan membangun model (interpolasi). Di luar rentang (ekstrapolasi) kurang akurat.

⚡ Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1: Hitung tabel Σx, Σy, Σxy, Σx^2 terlebih dahulu, lalu masukkan ke rumus. Jangan coba hitung r atau b tanpa tabel lengkap.

💡

Trik 2: r selalu antara -1 dan 1. Jika hasil hitungan di luar range ini, ada kesalahan perhitungan.

🚨

Jebakan: Korelasi BUKAN kausalitas. r tinggi tidak berarti x menyebabkan y - bisa keduanya dipengaruhi variabel ketiga.

Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026

Diketahui n=5, Σx=10, Σy=20, Σxy=50, Σx^2=30. Nilai b pada persamaan regresi y=a+bx adalah...

UMPTN

n=5, Σx=10, Σy=20, Σxy=50, Σx^2=30. Hitung b.

1

b = (n*Σxy - Σx*Σy) / (n*Σx^2 - (Σx)^2) = (5*50 - 10*20) / (5*30 - 100)

2

= (250-200)/(150-100) = 50/50 = 1.0 → Jawaban B ✓

🏠 Beranda ← Bab 22

Bab 24: Permutasi →

🏭 1.1 Analogi - Loker dan Pizza

Permutasi vs Kombinasi

Permutasi: Kode loker "1-2-3" berbeda dengan "3-2-1" - urutan PENTING.
Kombinasi: Pizza dengan topping "keju, jamur, paprika" sama dengan "paprika, jamur, keju" - urutan TIDAK penting.

Konsep	Rumus	Kata kunci
Faktorial n!	n! = n x (n-1) x ... x 2 x 1	0! = 1, 1! = 1
Permutasi P(n,r)	P(n,r) = n!/(n-r)!	susun, antre, kode, nomor
Kombinasi C(n,r)	C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)	pilih, tim, komite, grup
Permutasi melingkar	(n-1)!	duduk melingkar, kalung
Permutasi unsur sama	n!/(n1! x n2! x ...)	kata dengan huruf berulang

🎪 1.2 Kalkulator Permutasi & Kombinasi

n =

r =

🔢 2.1 Aturan Perkalian & Penjumlahan

Aturan Perkalian: Jika kejadian A dapat terjadi a cara DAN kejadian B dapat terjadi b cara, total = a x b cara

Aturan Penjumlahan: Jika kejadian A dapat terjadi a cara ATAU kejadian B dapat terjadi b cara (saling lepas), total = a + b cara

Contoh Soal

Mudah

Dari 8 siswa dipilih ketua, wakil, dan bendahara. Berapa cara pemilihan pengurus?

1

Urutan penting (ketua != wakil) → Permutasi P(8,3)

2

P(8,3) = 8!/(8-3)! = 8x7x6 = 336 cara ✓

Mudah

Dari 10 siswa dipilih tim beranggotakan 4 orang. Berapa cara pembentukan tim?

1

Urutan tidak penting (tim) → Kombinasi C(10,4)

2

C(10,4) = 10!/(4!x6!) = (10x9x8x7)/(4x3x2x1) = 5040/24 = 210 cara ✓

Menengah

Ada berapa kata yang dapat dibentuk dari huruf-huruf "MATEMATIKA"?

1

MATEMATIKA: 10 huruf, M=2, A=3, T=2, E=1, I=1, K=1

2

Jumlah kata = 10! / (2! x 3! x 2! x 1! x 1! x 1!) = 3628800 / (2x6x2) = 3628800/24 = 151.200 kata ✓

⚡ 3.1 Binomial Newton

(a+b)^n = Σ(k=0 to n) C(n,k) * a^(n-k) * b^k

Suku ke-(r+1): C(n,r) * a^(n-r) * b^r

Koefisien binomial = C(n,k) = segitiga Pascal

Tipe UMPTN

Tentukan suku ke-4 dari penjabaran (2x + 3)^6!

1

Suku ke-4 = suku ke-(r+1) dengan r=3: C(6,3) x (2x)^3 x 3^3

2

C(6,3) = 20, (2x)^3 = 8x^3, 3^3 = 27

3

Suku ke-4 = 20 x 8x^3 x 27 = 4320x^3 ✓

⚡ Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 - Permutasi atau kombinasi? Tanya: "apakah urutan/posisi penting?" Jika ya → permutasi. Jika tidak → kombinasi.

💡

Trik 2 - C(n,r) = C(n,n-r): C(10,7) = C(10,3) = 120. Hitung dari r yang lebih kecil!

💡

Trik 3 - Pembatasan: Soal "A dan B harus bersama" → anggap sebagai 1 unit. "A dan B tidak boleh bersama" → total - (A dan B bersama).

🚨

Jebakan: Permutasi melingkar: (n-1)! bukan n!. Dan untuk kalung/gelang (bisa dibalik), bagi lagi dengan 2: (n-1)!/2.

Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026

Dari 6 orang akan dipilih 2 orang sebagai perwakilan. Banyak cara pemilihan adalah...

UMPTN

6 orang, pilih 2 perwakilan. Berapa cara?

1

Urutan tidak penting → C(6,2) = 6!/(2!x4!) = (6x5)/(2x1) = 15 → B ✓

🏠 Beranda ← Bab 23

Bab 25: Peluang Dasar →

🎲 1.1 Analogi - Dadu dan Koin

Bayangkan ini

Lempar dadu. Ada 6 kemungkinan hasil (1,2,3,4,5,6) - ini ruang sampel. Peluang muncul angka 3 = 1/6 karena ada 1 kejadian yang diinginkan dari 6 kemungkinan. Peluang selalu antara 0 dan 1.

P(A) = n(A) / n(S)
n(A) = banyak kejadian A, n(S) = banyak ruang sampel

0 <= P(A) <= 1
P(S) = 1 (pasti terjadi)
P(kosong) = 0 (mustahil)

🎪 1.2 Simulator Dadu Interaktif

Lempar dadu dan lihat frekuensi relatif mendekati peluang teoretis

🔢 2.1 Kejadian Gabungan & Komplemen

P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B) [Kejadian gabungan]
P(A n B) = 0 jika A dan B saling lepas (mutually exclusive)

P(A^c) = 1 - P(A) [Komplemen A]

P(A n B) = P(A) x P(B) jika A dan B saling bebas (independent)

Contoh Soal

Mudah

Sebuah kartu diambil dari 52 kartu bridge. Peluang mendapat kartu As atau kartu Hati?

1

P(As) = 4/52, P(Hati) = 13/52, P(As Hati) = 1/52

2

P(As u Hati) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13 ✓

Menengah

P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, A dan B saling bebas. Hitung P(A u B)!

1

Saling bebas: P(A n B) = P(A) x P(B) = 0.4 x 0.3 = 0.12

2

P(A u B) = 0.4 + 0.3 - 0.12 = 0.58 ✓

⚡ 3.1 Peluang dengan Kombinasi

Tipe UMPTN

Kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola biru. Diambil 3 bola sekaligus. Peluang mendapat 2 merah dan 1 biru?

1

n(S) = C(8,3) = 56

2

n(A) = C(5,2) x C(3,1) = 10 x 3 = 30

3

P(A) = 30/56 = 15/28 ✓

⚡ Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 - Komplemen lebih mudah: "Peluang MINIMAL 1 berhasil" = 1 - P(semua gagal). Jauh lebih mudah daripada hitung satu per satu!

💡

Trik 2 - Gabungan vs Irisan: "A atau B" = P(A u B) = P(A)+P(B)-P(A n B). "A dan B" = P(A n B).

🚨

Jebakan: "Saling lepas" TIDAK sama dengan "saling bebas"! Saling lepas: tidak bisa terjadi bersamaan. Saling bebas: satu tidak mempengaruhi yang lain.

Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026

Dua dadu dilempar bersamaan. Peluang jumlah mata = 8 adalah...

UMPTN

2 dadu, jumlah mata = 8. Peluang?

1

n(S) = 36. Pasangan berjumlah 8: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) = 5 pasangan

2

P = 5/36 → Jawaban B ✓

🏠 Beranda ← Bab 24

Bab 26: Peluang Lanjut →

🤔 1.1 Peluang Bersyarat

Bayangkan ini

P(hujan besok) = 40%. Tapi jika hari ini berawan, P(hujan besok | hari ini berawan) = 70%. Kondisi "hari ini berawan" mengubah peluang hujan. Inilah peluang bersyarat.

P(A|B) = P(A n B) / P(B) [Peluang A terjadi, diketahui B sudah terjadi]

P(A n B) = P(A|B) x P(B) = P(B|A) x P(A) [Aturan perkalian]

📈 1.2 Distribusi Binomial

X ~ B(n, p): n percobaan, peluang sukses p tiap percobaan

P(X = k) = C(n,k) x p^k x (1-p)^(n-k)

E(X) = np [nilai harapan]
Var(X) = np(1-p) [varians]

💡

Kapan pakai: Percobaan diulang n kali, setiap percobaan hanya punya 2 hasil (sukses/gagal), peluang sukses sama tiap percobaan.

Contoh Soal Bertahap

Mudah

Dari 52 kartu bridge, diketahui kartu yang terambil berwarna merah. Peluang kartu tersebut adalah As?

1

P(As n Merah) = 2/52 (As Hati dan As Berlian)

2

P(Merah) = 26/52 = 1/2

3

P(As|Merah) = (2/52)/(26/52) = 2/26 = 1/13 ✓

Menengah

Peluang seseorang lulus ujian = 0.7. Jika 5 orang ikut ujian, peluang tepat 3 orang lulus?

1

X ~ B(5, 0.7). P(X=3) = C(5,3) x (0.7)^3 x (0.3)^2

2

= 10 x 0.343 x 0.09 = 10 x 0.03087 = 0.3087 ✓

⚡ 3.1 Teorema Bayes

P(A|B) = P(B|A) x P(A) / P(B)

Bentuk lengkap:
P(Ai|B) = P(B|Ai) x P(Ai) / [Σ P(B|Aj) x P(Aj)]

Tipe UMPTN

Pabrik A membuat 60% produk, pabrik B membuat 40%. Tingkat cacat A=2%, B=5%. Sebuah produk cacat ditemukan. Peluang dari pabrik A?

1

P(A)=0.6, P(B)=0.4, P(cacat|A)=0.02, P(cacat|B)=0.05

2

P(cacat) = 0.6x0.02 + 0.4x0.05 = 0.012 + 0.020 = 0.032

3

P(A|cacat) = (0.02 x 0.6)/0.032 = 0.012/0.032 = 3/8 = 0.375 ✓

⚡ Tips & Trik UMPTN

💡

Trik 1 - Bayes mudah: Gambar tabel 2x2 (A/B vs kondisi). Isi semua sel dengan produk peluang. Bayes = sel yang dicari / jumlah kolom/baris.

💡

Trik 2 - Binomial "minimal k": P(X >= k) = 1 - P(X < k) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k-1)]. Komplemen jauh lebih efisien.

🚨

Jebakan: P(A|B) TIDAK sama dengan P(B|A)! "Peluang positif covid jika sakit" berbeda dengan "peluang sakit jika positif covid".

Latihan Soal UMPTN

Prediksi SNBT 2026

Sebuah koin dilempar 4 kali. Peluang mendapat tepat 3 gambar adalah...

UMPTN

Koin dilempar 4x. P(tepat 3 gambar)?

1

X ~ B(4, 0.5). P(X=3) = C(4,3) x (0.5)^3 x (0.5)^1

2

= 4 x (1/8) x (1/2) = 4/16 = 1/4 → Jawaban B ✓

🏠 Beranda ← Bab 25

Bab 27: Limit Fungsi →

🚧

Bab 27 — Segera Hadir

Limit Fungsi sedang dalam pengerjaan.

Kuasai Matematika
dari Dasar hingga UMPTN

Eksponen & Logaritma

Himpunan & Logika Matematika

Perbandingan, Rasio & Proporsi

Aritmetika Sosial

Fungsi, Komposisi & Invers

Persamaan & Fungsi Kuadrat

Pertidaksamaan Kuadrat

Barisan & Deret

Persamaan Garis Lurus

Polinomial (Suku Banyak)

Trigonometri Dasar

Trigonometri Lanjut

Vektor

Geometri Transformasi

Lingkaran

Irisan Kerucut

Geometri Ruang

Matriks

Program Linear

Persamaan & Pertidaksamaan Linear

Sistem Persamaan Linear

Statistika Deskriptif

Statistika Lanjut

Permutasi & Kombinasi

Peluang Dasar

Peluang Lanjut

Kuasai Matematikadari Dasar hingga UMPTN

Eksponen & Logaritma

Himpunan & Logika Matematika

Perbandingan, Rasio & Proporsi

Aritmetika Sosial

Fungsi, Komposisi & Invers

Persamaan & Fungsi Kuadrat

Pertidaksamaan Kuadrat

Barisan & Deret

Persamaan Garis Lurus

Polinomial (Suku Banyak)

Trigonometri Dasar

Trigonometri Lanjut

Vektor

Geometri Transformasi

Lingkaran

Irisan Kerucut

Geometri Ruang

Matriks

Program Linear

Persamaan & Pertidaksamaan Linear

Sistem Persamaan Linear

Statistika Deskriptif

Statistika Lanjut

Permutasi & Kombinasi

Peluang Dasar

Peluang Lanjut

Kuasai Matematika
dari Dasar hingga UMPTN